l/,8* EMPLOI DE L’EXPRESSION ASYMPTOT. DES INTÉGRALES 
X f{x)dx 
coli"¿c 
/■ 
’ f{x ) sih % xdx 
} 
coh' i+2 a? 
que l’on peut écrire 
'f(x) si h 57 ^ 
coh /i+1 j? 
• Or 
n -f- I 
cette dernière, intégrée par parties, donnera 
/ i /(a?) sih a? i rf(x)cohx-^/'(x)sihx ^ 
coh n+l x 
n -+-1 coli' i+1 x n-’rij 
i f(x) sih a? I« 
J f'( x )d 
coh ,l aC 
( n -+-1 ) n v 
n -+-1 coh /i4 ' 1 x n -t- x 
et le dernier terme, traité de même au moyen de l’intégration par 
parties, deviendra 
I 
r /'(») 
rf"{x) dx n 
J [/'(*) +jfclI l 
(li -1- i)n 
CO 11 11 X ^ 
/ coh ,l a; J (n- 
h i )n Lcoh ,l a? 
On aura donc, en définitive, à une constante arbitraire près, 
n f{x) siha; -+-/'( a? ) coh a? 
i) Co\í n+i X 
La constante arbitraire à ajouter au second membre sera même 
nulle si, comme nous l’admettrons, ou prend — oo pour limite infé 
rieure. Car l’intégrale \ n étant alors supposée finie même quand on la 
compte à partir de cette limite, il est entendu, par le fait même, que 
f{x), lorsqu’il a la forme Asib(const. ±zkx) -+-Bcoli(const. ± kx) et 
qu’il devient, par conséquent, infini, comme cohAa;, pour x~ ±oo,Ie 
devient infiniment moins que le dénominateur coh*a?. Or, eolia; se 
trouvant comparable à e'f* 1 et coliga;, comparable à eou à cohnx, 
il suit de là que le nombre positif k est alors inférieur à «, et que, 
dans (i4), le double terme intégré, où f{x) et f{x) deviennent de 
l’ordre de cob/ca; pour x très grand, tend vers zéi’o, comme si f{x) 
et f{x) étaient proportionnels à des sinus ou à des cosinus circulaires, 
vu le dénominateur coh /i+1 a;, dont le rapport à un numérateur, 
nf{x) sih x -\-f {x) coba;, de l’ordre de coh kx coba;, grandit sans 
limite. Ainsi, le second terme de la formule (i4) s’annulera pour 
x——oo, comme le premier et le troisième affectés de I„ +2 et I„; en 
sorte que la constante arbitraire à joindre au second membre se trou 
vera bien réduite à zéro. 
Cette formule (i4) serait propre à donner I„ +2 si I rt était connu. 
Mais, comme nous voulons ramener, au contraire, I /t à I, l+2 , il faut la