FORMÉES AVEC LES INVERS. DES PUISS. DES NOMBR. ENT. OU IMPAIRS. 
En continuant de même, on voit que la série d’où l’on est parti, 
+ ‘ n .v - 4- • • •, égale à — entre les limites o et ir, conduit, 
I J 4 
entre les mêmes limites, à des expressions finies, rationnelles et en 
tières (en x) des séries trigonométriques rentrant dans chacun des 
deux types 
sma? 
t 2/i+l 
si 11 1>X 
3 2 " +1 
-h ... ; et qu’il en 
résulte l égalité, au produit de facteurs commensurables par tt 2 " ou 
par TC 2/i+1 , des séries numériques respectives 
(5g bis) 
i r 
~ 3 2 « ~ à 2 « + ' ' ’ 
et 
£ 2 V—1 ^2/i-f-l 
dont la seconde u’est autre, pour n — o, que l’expression de ~ trouvée 
4 
par Leibnitz. 
Un raisonnement très simple, exposé, pour le cas n~2, dans le 
n° 22* (t. I, p. 28*) où nous avions déjà obtenu d’une autre manière 
la formule (53), ramène d’ailleurs la série, que j’appellerai S,„, formée 
par les puissances d’un certain degré m des inverses des entiers 1, 2, 
3,..., à la série que composent les puissances analogues des Inverses 
des seuls impairs 1, 3, 5, .... Ce raisonnement consiste à dire que 
l’on a 
et, par suite, 
2" 1 /1 I I 
(®°) .¿m ( ' [ in 3 m 1 5m T j 
Il viendra donc, en particulier, pour m — 2 et m — 4> vu les formules 
(53) et (58), 
(61) 
—2 
1T 
i 1 1 
—r -H -7 -t- 77 
i* 2* 
-t-. 
9° 
Les sommes des séries numériques remarquables (bi), (5q bis) ont 
été, en premier lieu, déduites (plus ou moins directement) pai Lulei 
de la décomposition de siax et cos^? en facteurs, qu’il avait lui-même 
découverte et qui rend évidente (t. I, p. 27 ) la plus utile de ces 
sommes, savoir, la première (61), relative aux inierses des caiiés 
entiers.