DÉCOMPOSITION, EN ÉLÉMENTS TRIGONOM., DES EONCT. DE POINT, 
Hii*. — Des séries trigonométriques, doubles ou triples, que donne le 
développement des fonctions de point dans un espace à deux ou trois 
dimensions constantes, et des intégrales soit quadruples, soit sextuples, 
auxquelles conduit alors la formule de Fourier, quand cet espace est 
indéfini en tous sens. 
Une fonction de plusieurs variables x, y, . . ., périodique par rap 
port à chacune d’elles, peut se développer, si l’on n’y considère d’abord 
que x, en une série procédant suivant les cosinus ou les sinus d’arcs 
proportionnels à x, avec des coefficients exprimés, comme le montrent 
les formules (35), (53), etc., par des intégrales définies simples, ayant 
la variable d’intégration que nous appelons ; et, sous le signe /, le 
facteur/(;, y,.. .). Or, dans chaque terme de cette série, développons 
de même le facteur /(ç, y, . . .) suivant les cosinus ou les sinus d’arcs 
proportionnels à y, qui s’y trouveront affectés, en coefficient, d’inté 
grales définies simples prises, entre des limites constantes, par rap 
port à une nouvelle variable d’intégration r¡ et où la fonction y aura 
la forme/(£, r,, . . .). L’intégrale en è considérée se décomposera donc 
en une infinité d’intégrales doubles, d’où sortiront, pour passer à côté 
du cosinus ou sinus fonction de x qui la multiplie, les facteurs cosinus 
ou sinus fonctions analogues de y, et, chaque terme de la série primi 
tive étant devenu lui-même une série, la fonction f{x,y,...) sera expri 
mée au moyen d’une série double dont les coefficients contiendront 
sous leurs deux signes f le facteur/(£, r ; ,...). S'il y a une troisième 
variable z, ce facteur r n z) se développera encore en une série tri- 
gonométrique suivant les cosinus ou sinus d’arcs proportionnels à z : 
la fonction /{x, y, z) deviendra donc une série triple. Et ainsi de suite. 
Soit, par exemple, a, b, c désignant trois droites de longueur con 
nue, f(x,y : z) une fonction de point arbitrairement donnée, dans 
l’angle des coordonnées positives, de x — o à x—a, de y — o 
ky — b, enfin de z~ o à z=c, c’est-à-dire dans une étendue de 
dimensions constantes (ou comprise entre limites parallèles); et sup 
posons qu’on veuille la développer par la formule de Lagrange (43) 
[p. 167*]. Trois applications de celle-ci donneront, en appelant Í la 
troisième variable d’intégration introduite, et i, /, k trois entiers in 
dépendants qui recevront successivement toutes les valeurs positives, 
J\x,y,z) = 
SI U 
Sin • 
abc À-à Àà 
a