EMPLOI DES INTÉGRALES DÉFINIES DANS L’EXPRESSION DES FONCTIONS. 
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la formule de Fourier (p. 168*) prouve que les intégrales définies pour 
ront, au contraire, représenter de telles fonctions; et celui de la série 
de Fourier, réductible du reste à l’expression asymptotique d’une inté 
grale définie, montre qu’elles partageront cette aptitude avec certaines 
séries, à variation généralement non graduelle, dont les termes sont 
affectés d’ondulations de plus en plus courtes à mesure que leur ordre 
s’élève. Mais les intégrales auront, sur ces séries (d’un calcul numé 
rique parfois non moins laborieux que le leur, ou peu s’en faut), l’avan 
tage de la continuité offerte par leurs éléments successifs, à la place de la 
discontinuité que présente la suite des termes d’une série par le fait 
même que leur grandeur est sensible; à quoi il faut ajouter enfin que 
les intégrales définies doivent à leur notation commode et concise, à 
la simplicité de leur représentation géométrique, à la multitude de 
leurs applications, d’être devenues presque aussi familières aux géo 
mètres que les expressions de forme finie, dont elles constituent, pour 
ainsi dire, une nouvelle espèce. 
Il y aura donc lieu de recourir aux intégrales définies, prises entre 
limites soit variables, soit constantes, quand l’emploi des fonctions 
plus élémentaires paraîtra insuffisant; ce qui arrivera presque tou 
jours dans les questions qu’il nous reste à aborder, savoir, dans l’in 
tégration des équations différentielles, et surtout dans celle des 
équations aux dérivées partielles. Les intégrales définies y réussiront 
assez souvent, là où auront échoué les expressions plus simples; mais 
il arrivera quelquefois aussi qu’une môme solution d’équation diffé 
rentielle sera représentée à la fois par une intégrale et par une fonc 
tion moins complexe, circonstance entraînant évidemment la réduc 
tion, à celle dernière, de l’intégrale, que l’on regardera dès lors 
comme évaluée. 
Par suite de l’importance physique du paramètre différentiel 
A« — h———h, • • • et, plus généralement, des dérivées secondes 
dx' 1 dy- 
directes -j--, • • - , ^ es f° ncL i° ns de pointf{x,y, .. .,1) représen 
tatives des phénomènes, les intégrales définies, à limites constantes 
et à élément fonction des paramètres oc, y, ..., t, les mieux appropriées 
aux problèmes de la Philosophie naturelle, seront celles dont les dé 
rivées secondes directes se formeront le plus simplement, et qui, 
d’ailleurs, contiendront sous leurs signes / une fonction arbitraire 
pouvant s’adapter à toutes les variétés de l'état initial. La formule 
de Fourier (pp. 169* etiyS*) doit justement son utilité à la réalisation 
de ces conditions; caries éléments de l’intégrale n’y contiennent^ 1 , 
B. — II. Partie complémentaire. 
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