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SOUS LES SIGNES /, DEUX FACTEURS ARBITRAIRES : PREMIER TYPE. 179* 
minée. Le produit f<h placé sous le signe f doit, pour cela, ne pas 
devenir, à la limite inférieure zéro, infini de l’ordre de - ou d’un ordre 
a 
plus élevé (p.64) ; et, si l’on admet, comme nous le ferons, que les 
fonctionsf, ^ restent finies dans l’intervalle des limites, il faut encore 
que les éléments correspondant aux très grandes valeurs de a, expri 
més à fort peu près par f(^~ ) ( K°) d%, donnent une somme évanouis 
sante, ou que l'intégrale f f [— )dx soit elle-même finie et déter- 
minée, du moins dans l’hypothèse d’une valeur de (o) différente 
de zéro. 
Cela posé, dlfférentions sous le signe /, par rapport à t, l’expression 
, ... ¿2 t 
( 1) de co. Comme la dérivée, en t, de -—- est —, nous aurons pour résul- 
v ' ‘ 2a 2 a 2 r 
iat X / (IM^)^ ;cequirevienu i = , 
c’est-à-dire à jT f{ j f du, si l’on pose ^ = u, ou que l’on 
prenne pour nouvelle variable d’intégration a le rapport croissant 
de zéro à l'infini (vu l’hypothèse t > o) quand a ou ^ décroît de l’in 
fini à zéro. Le nom u de la variable d’intégration important peu, 
remplaçons-le par a; et nous aurons alors 
(2) 
¡rue I 
expression de la dérivée de cp que nous savons devoir convenir pourvu 
qu’elle soit bien déterminée, ou à la double condition que le produit 
4' / (—-j n e devienne pas, pour a = o, infini de l’ordre de X -, 
et que, si /(o) diffère de zéro, l’intégrale J V (fgj dx soit elle- 
même déterminée, du moins dans l’hypothèse d’une dérivée J/ con 
stamment finie entre les deux limites de l’intégration. 
En résumé, et sous ces réserves, on voit que Vintégrale (i) con 
serve, dans la différentiation, sa forme caractéristique, malgré la 
grande généralité que lui donnent ses deux fonctions arbitraires f, 
<\; seulement, l’une de ces deux fonctions, celle qui contenait le 
paramètre t, est remplacée par sa dérivée, et échange d’ailleurs 
- i. ■#. 
, .