AU PARAMÈTRE, DE L’UNE QUELCONQUE DE SES PUISSANCES. l85* 
(ro), ne conserve plus sa forme caractéristique dans la différentiation; 
car il faut, pour y retrouver celte forme, multiplier sa dérivée par r P 
et aussi, d’après (i3), P ar v/q*’ encore > l’exposantp est-il rem 
placé dans le résultat par un autre, q, associé à p en vertu de la rela 
tion symétrique (12), sans compter que les deux fonctions J/ et /con 
tinuent à échanger leurs variables. 
On généralisera évidemment, d’une manière analogue, la for 
mule (5). 
Mais, pour obtenir une relation où entre la dérivée deuxième de cp, 
appliquons la même règle de différentiation à l’intégrale figurant dans 
le second membre de (i3); ce qui, par suite de la permutation des 
rôles entre p et q, donnera 
r "'’¿jf '(£) «'(?)* V£jT / ’(?) 
Si donc nous différentions en r les deux membres de (i3), puis que 
2 
1 
nous multipliions les résultats par r 'O il viendra simplement, au se 
cond membre, Ç f ( ~ j V tan( lis f I ue premier, 
1 d 
'■ "57- 
1-- do 
r P dr 
1-- d 2 o 
P d?2 + 1 1 
_ , -do 
- ]r "dì- 
p 
se réduira, en vertu de (12), à -f- ( 1 —- - ) - ^• On aura ainsi, 
dr 2 
do 
r dr 
comme généralisation de l’équation (3), 
04) 
d- o 
~d?i 
. /ap\ / u 2 \ 
f ( — j ( —- j dn. conserve sa 
forme avec substitution, aux deux fonctions f, de leurs dérivées 
premières, il ne suffit plus, quand p diffère de 2, d’en prendre la 
dérivée seconde par rapport au paramètre r; mais il faut, à cette 
dérivée seconde, ajouter ^1 — — j fois le quotient de la dérivée pre 
mière par le paramètre r. 
La répétition de la même opération donnera, évidemment, 
J f ^ f (~~q ) j d'j. et reproduira, en valeur absolue, l’inté-