88* FONCTIONS DE POINT DÉDUITES DU PREMIER TYPE ET DONT LA FORME
Reste le cas m = 2. Alors, d’après les équations (16), q vaut l’unité,
mais p est infini, et l’intégrale cp, définie par (10), reçoit une expres
sion asymptotique qu’il importe de dégager. A cet effet, supposant,
par exemple, m de la forme 2 — 2 z, ou p infini positif, observons que a p
devient soit infiniment petit, soit infiniment grand, dès queadiffère sen
siblement de l’unité; en sorte que toutes les valeurs finies de la puis
sance a p , par le seul intermédiaire de laquelle la fonction sous le
signe f dépend de a, se produisent quand a diffère infiniment peu de
l’unité. Si donc, ^ étant une nouvelle variable d’intégration, on pose
a = i-t- - et, par suite, d* — - dû, la puissance ac recevra toutes ses
P P
valeurs utiles à considérer alors que ¡3, négatif ou positif, sera in-
/ 8 \ p
comparablement plus faible que p, de manière à rendre | ,
c’est-à-dire cn p , identique finalement à eP, d’après la définition même
de la fonction exponentielle (t. I, p. 42). D’ailleurs, lorsque p devient
infini, p peut recevoir des valeurs quelconques sans que i p cesse
d’égaler eP, et, <x p variant de o à 00 entre les limites de l’intégration,
¡3 y croîtra de —00 à 00. L’expression (10) de cp deviendra donc
- j' f {t, ~ j d$- Multiplions-la, ainsi que les formules
(17), pavp, et appelons «f* le produit p cp. Nous aurons, grâce à une
transformation de l’expression de A 2 cp analogue à celle de l’expression
même de cp :
d\3.
De la première de ces formules, qui définit l'intégrale ( I>, il est aisé
de déduire directement la seconde et la troisième. En effet, la pre
mière, différentiée par rapport à r, donne, en multipliant le résultat
par /■,