TRENTE-QUATRIÈME LEÇON.
SUITE DE L’EMPLOI DES INTÉGRALES DÉFINIES, POUR EXPRIMER
CERTAINES FONCTIONS : THÉORIE GÉNÉRALE DES POTENTIELS;
POTENTIELS SPHÉRIQUES.
350*. Second type : des potentiels; leur définition générale.
Le deuxième type, qu’il nous reste à étudier, concerne des inté
grales dont les paramètres ne sont autre chose que les coordonnées
x, y, z d’un point mobile, et dont les divers éléments se rattachent à
tout autant d’éléments désignés, dm, d’une masse réelle ou fictive m,
censée répartie d’une manière donnée quelconque dans l’espace. Nous
affecterons à ces intégrales le nom générique de potentiels, employé
par les géomètres pour désigner quelques-unes d'entre elles, mais
surtout la plus anciennement connue, découverte par Laplace, et qui
exprime en effet, proportionnellement, le pouvoir moteur de la pe
santeur (newtonienne) due à la masse fixe/«, sur un corps de masse i
venu de l’infini jusqu’à la position (x,y,z), savoir, le travail total
produit par cette pesanteur dans tout le mouvement antérieur du
corps. Ces intégrales se formeront comme il suit.
Et, d’abord, si l,y, t sont les coordonnées (rectangulaires) de l’en
droit occupé par l’élément quelconque dm de la masse considérée ou
masse potentialité m, r sa droite de jonction au point mobile ou
point potentié (oc, y, s), droite dont \ — x, r¡ —y, Í — z exprimeront
les trois projections sur les axes, enfin &(£ — x, y—y, t — z) une
certaine fonction de ces trois projections, on aura comme élément du
potentiel le produit Q(£ — x, —y, Ç — z)dm. Quant aux limites de
l’intégration, on les obtiendra en décrivant autour du point potentié
(x,y,z) deux certaines surfaces fermées, l’une, que nous appelle
rons Œj, extérieure, l’autre, que nous appellerons a-, intérieure, c’est-
à-dire entourée par la première, et, toutes les deux, non seulement
invariables pour la forme, la grandeur et l’orientation, mais, de plus,
liées au point {oc, y, z), qui les entraînera avec lui dans l’espace;
cela posé, la somme f d/(£ — x, r¡ —y, t — z)dm devra, à un instant
quelconque, se prendre pour tous les éléments dm de masse occupant
