THÉORIE GENERALE DES POTENTIELS :
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que j’appellerai 9, l’expression
(1) 9= f r ( — y, Ç — *)?(£, r„ %)dm.
'Jtz
Celte intégrale est généralement triple, à cause des trois dimen
sions du volume ht, dont on peut prendre l’élément dm rectangulaire
et égal à cfcdr\dÇ; mais elle devient double ou simple dans les cas sin
guliers où la masse f dm à laquelle on étend l’intégration se réduit à
une mince couche, étalée sur une surface, ou même à une traînée
dessinant une simple ligne. Il paraît bien d’ailleurs sous le signe f,
comme il avait été annoncé à la lin du n° 343 (p. 178*), deux fonc
tions arbitraires et p, multipliées l’une par l’autre. Pour simplifier,
je les supposerai toutes les deux partout finies et continues, dans le
champ de l’intégrale, ainsi que leurs dérivées partielles, jusqu’aux
plus élevées dont j’aurai à m’occuper. On passera de ce cas d’une con
tinuité parfaite à celui où, par exemple, la densité p aurait deux va
leurs sensiblement différentes départ et d’autre d'une surface donnée,
en faisant varier cette fonction p(£, r,, £) de plus en plus vite à la tra
versée de la surface, et en cherchant ce que tendront alors à devenir
les formules obtenues.
3ol*. — Calcul de leurs dérivées par rapport aux coordonnées
du point potentié.
Arrivons maintenant au calcul des dérivées de 9 en x, y, z, et sup
posons, à cet effet, que le point {ce, y, z) se soit déplacé parallèlement
à l’axe des x, de la quantité dx, dont s’accroîtra par suite l'ab
scisse ; de chaque élément de volume, dm, entraîné dans son mouve
ment. Dès lors, la masse dm qui occupe l’élément dm ne sera plus
p(ü, 7], t,)dm, mais p(i| + dx, r h t)dm, et elle aura grandi de
dm'j dx. La dérivée en x de chaque élément de 9 sera donc
cio
dm-, et l’on aura, pour la dérivée totale de 9,
Ainsi, les dérivées d’un potentiel par rapport aux coordonnées x,
y, z du point mobile sont des potentiels pareils au proposé, dans
lesquels la densité p de la matière se trouve remplacée par ses déri
vées analogues relatives aux coordonnées ç, r n t dont elle dépend.
