DES FONCTIONS DE POINT : LEUR EXPRESSION GÉNÉRALE. 
2o5 
qu’indique A 2 , ou qui consiste à prendre le paramètre différentiel 
Quant au développement (17) de p', il devient 
‘2 p c 2 A 2 A 2 p r* A, A, A., p 7’ fi 
1 7 L - r -i —, '■■■• - 
(21) p'=p 
I ~ —1— — 
m 2 m{m-h 2)2.4 m{m -h i){m -(- 4) 2.4.6 
• * : 
où l’on voit que les dénominateurs sont respectivement : 1.2, 1.2.3.4, 
1,2.3,4.5.6,. . . dans le cas m = 1 ; 2 2 , 2 2 .4 2 , 2 2 .4 2 .6 2 ,. . . dans le 
cas m = 2; et 2.3, 2.3.4-5, 2.3.4.5.6.7,... dans le cas ni = 3. 
La première formule (20) est Lien celle qui nous a servi (t. 1, 
p. 71*) à définir le paramètre différentiel du second ordre d’une fonc 
tion de point. Or on peut, de même, appeler, en général, paramètre 
différentiel d’un ordre pair quelconque, pour une fonction de 
point, i expression la plus simple représentant, à un facteur nu 
mérique près, la moyenne des valeurs que prend en un point donné 
la dérivée de même ordre de la fonction suivant toutes les droites 
qui s’y croisent. Les paramètres différentiels du quatrième, du 
sixième, . . ., du 2/i ième ordre, seront alors, d’après les formules (20), 
A 2 A 2 p, A 2 A 2 A 2 p, ..., ( A 2 )" p ; ils s’obtiendront tous par de simples ré 
pétitions de l’opération consistant ci prendre le paramètre diffé 
rentiel du second ordre A 2 . 
On observera que la dernière formule (20) devient respectivement, 
dans les trois cas m~i, m — 2 et m = 3 : 
(22) 
cl'2np ... , 
Le calcul de la valeur moyenne de -jffi conduit ainsi à une géné 
ralisation de la dérivée naturelle ou paramétrique A 2 p. Or celui de la 
même, une généralisation de 
cet autre paramètre différentiel, dit du premier ordre, dont le carré 
est proportionnel à moy. En général, p étant un exposant 
entier et positif quelconque, l’expression de la valeur moyenne de