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3g) 
22 g* PREMIER POTENTIEL LOGARITHMIQUE A TROIS VARIABLES : 
montrent à quel emploi il sera propre, ou quelles quantités il pourra 
exprimer : remarquons surtout qu’zY conviendra à des problèmes 
comportant une fonction arbitraire p{x, y), relative seulement à 
la limite z — o d’un espace triplement étendu, et non plus une 
fonction p(x,y, z) arbitraire à l’intérieur d’un tel espace, comme 
il arrivait pour des potentiels inverses ou directs quelconques. 
Mais il est des cas où, la fonction cherchée devant toujours, pour 
z > o, avoir son paramètre A 2 nul, ce seront seulement ses dérivées 
premières qui s’y évanouiront à l’infini, et sa dérivée seconde en s qui, 
nulle, pour s = o, hors de régions limitées du plan des xy, devra, 
dans ces régions, devenir une fonction arbitraire de x et de y. Alors, 
pour utiliser à la vérification de cette dernière condition, qui est la 
plus difficile à remplir, la propriété qu’exprime la relation (38), il 
sera naturel de former un nouveau potentiel f ^dm, que j’appellerai 
cp 1; dont la dérivée seconde en z soit la première du précédent cp; ce 
i . Cdz C 
qu’on fera en prenant, pour non plus - , mais J — ou j R2 ’ 
c’est-à-dire, d’après la formule (26) de la page 5o, et à une quantité 
près indépendante de z, log(s + sJz 2 + R 2 ) ou log(z-t-r). Il vient 
ainsi l’intégale double 
«pi — f\og{z-v-r)dm = J j* log\z-h\/z*-i-{x — - v¡) 2 ] p (t,r¡)d;dr l , 
que nous appellerons le premier potentiel logarithmique à trois va 
riables. Il se forme, comme on voit, en multipliant par l’élément dm 
de la couche plane potentialité, non pas le logarithme naturel de la 
simple distance r du point potentié à cet élément, mais celui de la 
somme des deux distances r et z du point potentié tant à l’élément de 
la couche qu’au plan de celle-ci. 
Cette intégrale reste bien finie pour z — o, c’est-à-dire sur le plan 
delà couche; car elle s’y réduit à f (logr)dm, ou au premier po 
tentiel logarithmique à deux variables (p. 220*). D’ailleurs ses dérivées 
premières en x, y, z, savoir / ( -, 1 
17 J \z -+- r z -1- r , 
ment homogène du degré — 1 en x — y — tq, z, s’évanouissent aux 
distances infinies, comme on le désire ici pour les fonctions à expri 
mer ; et la troisième n’étant autre que cp, donne ■ 
dz 1 ‘ ’ dz* dz ’ 
ce qui change bien la formule (38) en 
■ 5 y — 
dm 
, avant leur élé- 
(4o) 
(pour ^ = o) 
— 271 p{x,y).