SES PROPRIÉTÉS ET SON USAGE. 
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Il ne reste donc qu’à voir si ce nouveau potentiel pj a son para 
mètre A 2 nul. Or la troisième équation (34), devenue A 2 —— = o ou 
<3?A 2 cei . 
— o, montre que la fonction A 2 p t ne dépend pas de z et reçoit, 
tout le long d’une droite quelconque parallèle aux z, même valeur 
qu’aux points de cette droite situés à l’infini, là où toutes les déri 
vées de <p t s’annulent. Ainsi, l’on a bien identiquement 
(40 A 2 cp! = o ou A 2 /log(z -1- r).dm = o, 
ce que prouve, du reste, le calcul, par différentiation sous les signes f, 
des trois dérivées secondes directes de cp 4 en x, y, z, suivi de leur addi 
tion. A la limite z = o où cp t devient le potentiel à deux variables 
/(log/*)rf/n et où la dérivée seconde de cp, en s tend, d’après (4o), 
vers — 2tcp (x, y), on aura 
(pour z — o) A 2 cpi= + (logr) dm 2-izp(x,y) = o, 
résultat d’accord avec la première relation (33) [p. 220*] obtenue tout 
autrement. 
En résumé, le premier potentiel logarithmique p 1? divisé par —■ 2tt, 
constituera bien, dans tout Vespace situé du côté du plan des xy où 
les z sont positifs, une fonction continue ayant son paramètre dif 
férentiel A 2 nul, ses dérivées premières évanouissantes aux distances 
infinies, et sa dérivée seconde en z, disponible, c’est-à-dire égale à 
la fonction arbitraire p (x,y), sur des parties limitées quelconques 
du plan des xy, mais nulle sur tout le reste de ce plan. 
Enfin, dans certains problèmes de Physique mathématique, la fonc 
tion de point demandée, à paramètre différentiel A 2 encore nul, devra, 
pour z~y>o, avoir seulement ses dérivées secondes évanouissantes à 
l’infini et sa dérivée troisième en z ou nulle, ou arbitraire sur le plan 
des xy. On est donc conduit à former, pour ces cas, un nouveau po 
tentiel ^2— f '\dm, en opérant sur l’expression de p 2 comme on l’a 
fait sur celle de p pour obtenir pj lui-même. Autrement dit, l’on 
prendra ù = flog{z -h r)dz, ou, grâce à une intégration en 5, par 
parties, dans laquelle on aura finalement zdz — rdr, et abstraction 
faite d’une quantité indépendante de z, 
S 
— z\og{z -hr) — / zd\og{z -h r) = Z logfis + T 
■>-/1- 
zlog(z -hr)—, 
Le second potentiel logarithmique à trois variables ainsi composé