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SECOND POTENTIEL LOGARITHMIQUE A TROIS VARIABLES.
sera par conséquent
(42) ?*=/[— r-h*log(* + r)]dm.
La fonction sous les signes f y tend vers zéro avec r (que s ne dé
passe jamais); de sorte qu’il reste, comme tp et cp t , fini et continu
à la limite z — o. Quant aux dérivées partielles de <p 2 , 011 voit que
celles du premier ordre en x et y ont leurs fonctions sous les signes f
[débarrassées, par la différentiation, de la transcendante log(,s + /•)]
homogènes du degré zéro en x— £, y — tq, z\ d’où se déduiront bien
des dérivées secondes évanouissantes aux distances infinies : et la dé
rivée de cp 2 en z ne sera évidemment autre que <p A , dont les propres déri
vées s’évanouissent de même à l’infini. D’ailleurs, la relation (4o),
devenue
, . d 3 cp 2 / x
(43) (pour z = o) -jj- = — ztzp(x,y),
montre que la dérivée troisième de cp 2 en z sera bien, comme on le
désire, d’une part, arbitraire sur toutes les parties du plan des xy
occupées par la couche potentialité, d’autre part, nulle sur le reste de
ce plan, où s’annulera la densité superficielle p(x,y). Et pour ce qui
est du paramètre différentiel A 2 tp 2 , un raisonnement analogue à celui
que nous venons de faire à propos de A 2 cp 1} mais basé sur la relation
. . d®* . dA<) 9 2
(41 ), devenue A 2 -y- — o ou mieux —=z o, prouve que ce para-
CLZ CLZ
mètre A 2 cp 2 a, tout Je long d’une parallèle quelconque aux z, même
valeur qu’aux points de celle-ci situés à l’infini, là où s’annulent les
trois dérivées secondes de <p 2 composant A 2 c? 2 . On aura donc A 2 cp 2 = o;
et le potentiel cp 2 jouira bien des propriétés nécessaires pour repré
senter les fonctions que l’on a en vue.
Il peut être bon de remarquer que ce deuxième potentiel logarith
mique cp 2 se ramène au précédent cp t et au potentiel direct f rdm, avec
introduction de la distance .a de la couche au point potentié. L’on a,
en effet, identiquement, d’après (42),
(44)
cp 2 = — / rdm
Ai-f rdm
dz J
Aussi Je second potentiel logarithmique et le potentiel direct se
suppléent-ils dans certaines questions où figure en même temps, tout
au moins par quelqu’une de ses dérivées, le premier potentiel loga
rithmique.
