COMPLÉMENT A LA TRENTE-SIXIÈME LEÇON, 
CONSACRÉE A L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 
DU PREMIER ORDRE. 
SOLUTIONS SINGULIÈRES, SOLUTIONS ASYMPTOTES, LIEUX DE RÉU 
NION OU DE SÉPARATION D’INTÉGRALES; ÉQUATIONS DE RICCATI 
ET DE CLAIRAUT, ETC. 
361*. — Unité de l’intégrale générale. 
Il importe de bien se rendre compte d’une circonstance ( 1 ) concer 
nant l’expression f{x,y) de y', qui seule rend possibles les réunions 
ou séparations d’intégrales dont il vient d’être parlé, et qui, montrant 
le caractère exceptionnel des systèmes de valeurs de x et y pour les 
quels ces réunions ou bifurcations se produisent, permet de prouver 
qu’il n’existe qu’une seule intégrale générale y = F(x,y 0 ). 
Soient x et y un des systèmes de valeurs dont il s’agit, ou (x,y) 
un point tel qu’il soit possible d’y faire passer deux courbes diffé 
rentes représentant des intégrales. Si j’appelle y et Y les ordonnées 
courantes de ces courbes, on aura, par hypothèse, en tous leurs 
points, y'—f{x,y), Y'=f{x, Y); et, d’ailleurs, la différence Y —y 
des ordonnées sera nulle pour la valeur de x correspondant au point 
spécial considéré. Il viendra, par suite, évidemment, en partant de 
cette valeur spéciale x et s’arrêtant à une valeur infiniment voisine 
X E, 
(2) 
Y y = 
y' ) dx 
[/0> Y) 
— /(^>7)] dx - 
Mais la fonction continue f{x,\)—f^ x ij)i oùJQY dépendent 
de x, et qui est nulle à la limite inférieure de l’intégrale, ne peut que 
varier dans un môme sens, ou, autrement dit, s’écarter sans cesse de 
zéro, pendant que x varie dans l’étendue infiniment petite e. Donc, 
la plus forte valeur de cette fonction, entre les limites, est celle, 
(') Voir la Partie élémentaire, p. i8o.