DES INTÉGRALES D’UNE ÉQUAT. DIFFÉRENTIELLE ; SOLUTIONS SINGULIÈRES. 23l*
besoin d’effectuer aucune intégration. Et lorsque les valeurs en fonc
tion de x ainsi obtenues n’ont pas leur dérivée y' constamment égale
à f(x,y), ou qu’elles n’expriment pas des solutions de l’équation
proposée y'—jf(¿c,y), elles continuent, du moins, à représenter les
seuls systèmes de valeurs de x et y, les seules lignes (à abscisse x
variable), où puissent venirse raccorder mutuellement diverses inté
grales particulières, c’est-à-dire diverses courbes ou branches de
courbe de la famille représentée par l’intégrale générale y = F (x,y 0 ).
Dans la plupart de ces cas, il est vrai, la fonction f{x,y), qui
exprime y', et que nous supposons bien déterminée, comportera ce
pendant, partout ailleurs que sur la ligne fÿ{x,y) =± oo, plus
d’une valeur; car deux arcs distincts ne peuvent avoir leur terme ou
leur origine en chaque point de la ligney) —± oo et (comme il
arrive généralement) d’un même côté de celle-ci, sans que des croise
ments s’y produisent dans le voisinage, vu qu’un seul système de pa
reils arcs suffît pour y couvrir l’espace. Mais les valeurs de y, à
adopter pour la formation d’une intégrale ou le tracé d’une courbe,
n’en seront pas moins, comme nous l’avons admis, déterminées de
proche en proche, sinon par l’équation différentielle toute seule, du
moins avec le concours de la loi de continuité.
Celle-ci, en effet, obligera de choisir à chaque instant une valeur
de y' faisant suite à la précédente, c’est-à-dire n’en différant qu’infi-
niment peu ; de sorte que l’indétermination se produira seulement
aux points où deviendront égales deux valeurs dey'. Or ce n’est que
cly r
sur la ligne même/ } .(#, y) = ± oo, ou ^ =± oo, que survient une
telle circonstance, quand il s’agit, comme nous l’admettons implicite
ment, de ces associations de valeurs de y' opérées, en chaque point
(x,y), par une équation de la forme ¡’(x,y,y') = o, avec premier
membre, f(x,y,y'), fonction continue, et à dérivées partielles pre
mières continues, de x, y, y'. Car, alors, pour une valeur fixée quel
conque de x, mais des valeurs variables dey, deux racines y' de l’é
quation (’(¿c, y, y' ) — o, racines que j’appellerai respectivement y' et
y'H- s, ne pourront devenir égales, sans que, s s’évanouissant, le rap
port identiquement nul 1 ^ x ->y' y + ZifA devienne finalement
la dérivée partielle (y {x, y,y'). Ainsi, tout point (x, y) où deux ra
cines y' seront égales donnera (y, = o ; et comme, de l’équation
¡’(x,y, y') — o, où l’on fait varier y et y', il résulte
df dy
dy’ dy
dy' _ ïy(*,y,y)
dy ' 1 ’y,{x,y,yy
(5)
c’est-à-dire
