d’une ÉQ. DIFFÉRENT. : ENVELOPPES, TANGENTES OU NON AUX ENVELOPPÉES. 233*
qu’elle occupe constitue une ligne asymptote de la famille, comme le
montre (t. 1, p. 242*) l’exemple du faîte et du thalweg des lignes de
pente sillonnant un même versant du sol, vues en projection horizon
tale. Ce cas est bien le plus simple, le plus conforme à l’hypothèse
d'une continuité parfaite et d’une complète détermination analytique
des courbes, puisqu’il ne s’y produit nulle part de croisements de
celles-ci, ni même de réunion ou de séparation de rameaux leur appar
tenant. Il n’y a donc pas alors d’intégrales singulières, ni de racines
égales y' de l’équation (’(¿p,y, y') =. o, et, par suite, la courbe
f' y {x,y) — ± cc n’existe généralement pas, du moins dans l’étendue
considérée.
Mais exceptons ce cas et admettons, par conséquent, que les courbes
de la famille y — F (¿p, yf) puissent atteindre le bord de l’espace où
elles sont contenues. Alors il faudra : t° ou bien, que ces courbes, en
y arrivant, ne cessent pas d’être continues et se prolongent sans dévia
tion sensible, rasant ainsi le bord qui constituera dès lors une enve
loppe au sens ordinaire et représentera en général une solution sin
gulière de l’équation y' — f{cc,y) ; 2° ou bien, au contraire, que ces
courbes y soient discontinues, circonstance impliquant presque tou
jours (vu la rareté des points d’arrêt et des points anguleux) un ren
versement brusque de la direction de leur tangente, et qui fera, par
suite, du bord, alors ligne de rupture pour les courbes de la famille,
le lieu de leurs rebroussements ou des points de soudure de leurs
branches interrompues, mais mutuellement tangentes. Or, dans les
deux cas, la limite, l'enveloppe, se trouve constituée par des points
de réunion ou de séparation d’intégrales; d’où il suit qu’elle a bien
son équation comprise dans la formule fÿ{cc, y) — ±ao (').
36a*. — Des solutions qui rendent infini le facteur intégrant et, notam
ment, des intégrales soit singulières, soit asymptotes.
La connaissance du facteur d’intégrabilité v ( 2 ) ne conduit pas seule
ment à l’intégrale générale y) — c, dont elle ramène la recherche
à l’effectualion de certaines quadratures : elle permet aussi d’obtenir,
(’) Le géomètre philosophe Cournot, Inspecteur général des Études, avait déjà,
en iB-ji, reconnu, sur des équations différentielles du premier ordre et du second
degré, ce fait, que la ligne limitant le champ des courbes définies par une telle
équation ne leur est généralement pas tangente, mais constitue le plus souvent
pour elles un lieu de points de rebroussement ( Traité élémentaire de la théorie
des fonctions et du Calcul infinitésimal, par M. Cournot, iS/ji; t. II, p. 343.)
( -) Voir la Partie élémentaire, p. 183.