SOLUTIONS QUI RENDENT INFINI LE FACTEUR INTÉGRANT : 
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sans sommation d’aucune sorte, certaines solutions de l’équation dif 
férentielle proposée /'— f(x, y) = o, mais surtout celles qui ne sont 
pas comprises dans l’intégrale générale, c’est-à-dire les solutions sin 
gulières. 
En effet, la première formule (6) [p. 182], en y supposant d’abord 
y fonction quelconque de x, donne identiquement 
! /¿/cp , c/cp\ _ 1 /chp r/cp \ __ 1 d e o 
^ do \dyy dx) v \dx ~ dy ^ ) v dx ’ 
df 
et elle montre que l’annulation continue de/'—f, c’est-à-dire la vé 
rification, par/, de l’équation différentielle /'■— /(¿c,/) =0, revient 
à rendre sans cesse nul l’un des deux facteurs du dernier membre, 
savoir, la dérivée complète de cp, ou l’inverse de la fonction v de x 
et de /. Or, dans le premier cas, / varie avec x de manière que 
d c cp r= o, ou de manière que le mouvement du point (x,y) se fasse 
le long d’une des courbes représentées par l’intégrale générale 
o(x,y) ■= c. Donc il ne reste qu’à poser ^ = o, c’est-à-dire e=r±oo, 
si l’on veut pouvoir satisfaire à /'— f~ o autrement que par une des 
intégrales particulières /=: F {x, y 0 ) de la famille o{x,y) = c. Ainsi, 
toute solution de Véquation différentielle, qui échappe à l’intégrale 
générale, rend nécessairement infini, d’une manière continue, 
le facteur d’intégrahilité; d’où il suit que les solutions singulières, 
lorsqu’il y en aura de telles, se trouveront comjirises parmi les fonc 
tions / de x obtenues en posant v = ± 00. 
Mais il importe d’observer que celte équation p=r±oo pourra don 
ner, en outre, certaines intégrales particulières remarquables. 
Supposons, par exemple, le paramètre c assez bien choisi, pour que 
son changement A c, entre deux courbes voisines o[x, y) — c et 
y) = c + Ac, donne une idée de leur plus grand écart mesuré 
parallèlement à l’axe des/, ou soit de l’ordre de la plus grande diffé 
rence existant entre les deux fonctions y exprimées par ces courbes ; 
et bornons-nous, en conséquence, au cas, le mieux défini dans cette 
question, où la différence ¥(x,y 0 ~\- A/ 0 ) — F(¿c,/„) de deux inté 
grales voisines ne dépasse pas, quel que soit x, une certaine limite. 
Alors le facteur d’intégrabilité ç, qui n’est autre que la dérivée 
et qui mesure, en chaque point (x,y) du plan, la rapidité de varia 
tion du paramètre c = o(x,y) le long d’un chemin ¿//parallèle aux/, 
ne pourra devenir infini qu’aux endroits où les deux courbes séparées