ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE RICCATI. 
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donnent à la somme f {oc) /(¿p) 2 les trois valeurs a, «¿p~ 2 , ax~’*, 
ce qui en fait des intégrales particulières de (3o) dans les trois cas 
respectifs (les plus simples et les seuls d’intégrabilité où l’exposant m 
soit entier) m — o, m —— 2, m ——\. Or, dans tous ces cas où l’on 
connaît ainsi une intégrale particulière y—f{x) de l’équation de 
Riccati, il est facile d’en effectuer ou, du moins, d’en ramener à des 
quadratures, l’intégration générale. 
En effet, dès que l’on connaît une solution y —f{x) de l’équation 
(3o), prise même avec un second membre R fonction quelconque 
de oc, au lieu de ax m , et sous la forme non réduite 
(30 ^ + Py = Qr-+R, 
qui résulte de (27) par l’unique supposition n — 2, l’intégration com 
plète de cette équation (3i) se ramène immédiatement à celle d’une 
équation de Rernoulli et, par conséquent, à deux quadratures. On le 
voit en remplaçant, dans 3i), R par sa valeur 
f'{x) H- P f{x) — Q/(a?) 2, 
<pie donne la substitution dq f{x) à y. Il vient alors 
¿Lr—/(#)]■+■ 1> [r-/(^)l = Q[j 2 -/(-2?) 2 ]= QLr — /(a?)] [y-f-/(o7)J. 
Adoptons-y pour nouvelle fonction à déterminer la différence^ —f{oo), 
seule inconnue qui figure dans le premier membre. En l’appelant u, 
ou posant y—f{x) + a, le troisième membre égalera Q h- 2 f{x)] ; 
et l’équation obtenue, écrite 
(3-2) ^+[P-2Q/(^)] K = Q«0 
rentrera bien dans le type (22) [p. 187] de celle de Bernoulli, réduit 
même au cas a — o.. 
371*. — Troisième type : équations qui s'intégrent par différentiation, 
comme celle de Clairaut. 
Considérons enfin, comme dernier exemple général, une équation 
différentielle en x, y et y', non résolue par rapport à y', contraire 
ment à ce que nous admettions jusqu’ici, mais résolue, ou aisée à ré 
soudre, par rapport à l’une des deux variables x et y, dont chacune 
peut être prise comme variable indépendante ( sauf à remplacer, s’il le