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Genera des 
ÉQUATIONS QUI S’INTEGRENT PAR DIFFÉRENTIATION; ÉQ. DE CLAIRAUT. 
laut, y' ou par l’inverse de = x'^j . Supposons, pour fixer les 
idées, qu’on ait choisi comme fonction inconnue j' celle des deux va 
riables par rapport à laquelle 1 équation a été ou résolue, ou du moins 
ramenée au premier degré; et prenons, par conséquent, celle-ci sous 
la forme 
«quation 
Nuque 
' r Éwn com. 
a celle d'une 
ratures. On le 
l'appelant 
rnoulli. réduit 
tme etpatiou 
y, contraire- 
ou aises à re 
mplacer. 
il le 
( 33 ) «r=/0>7'), 
a désignant un coefficient constant, réductible à l’unité, sauf dans le 
cas exceptionnel (mais digne de remarque) où il s’annule. 
DiiTérentions cette équation (33) et observons que y' est, comme y, 
une certaine fonction de x. Il viendra 
(34) ay’ — 
df( x.y') 
dx 
df(x,y') dy' 
dy' dx 
ou 
dy 
dx 
ay' — fi(x,y') 
fy'(xy) 
équation différentielle, en x et y', qui se trouve, comme on voit, 
toute résolue par rapport à la dérivée de y’, et qui est, par suite, du 
moins à ce point de vue, beaucoup plus simple que la proposée (33) 
en x et en y. Si on sait l’intégrer, et qu’on obtienne ainsi, en fonc 
tion de x, l’expression générale de y' affectée d’une constante arbi 
traire c, cette expression de y', substituée dans (33), où je suppo 
serai a différent de zéro, donnera la formule cherchée de y. 
Clairaut a eu le premier, en 1734, cette ingénieuse idée de faciliter 
ainsi l’intégration de certaines équations différentielles en les diffé- 
rentiant, opération qu’on aurait cru plutôt devoir éloigner du but. II 
fa appliquée à l’équation, qui porte son nom, 
(35) y =y'x-]ro(y'), 
où es désigne une fonction quelconque d’une seule variable. Cette 
équation, différentiée, donne y'—y'-+- [¿r + cs'(jp')] c’est-à-dire, 
en supprimant le terme commun y' et multipliant par dx, 
(36) [x -+- dy' — °. 
Un facteur d’intégrabilité est évidemment l’inverse de x -+- es'(/') ; 
et son emploi conduit à l’équation simple dy' — o. L’intégrale géné 
rale de celle-ci étant y' — c, la valeur c de y', portée dans (35), 
donne 
(3;) y=cx-h'f(c), 
équation du premier degré en x et y. Donc l’intégrale générale (3~) 
de l’équation proposée (35) représente une famille de lignes droites.