2 \\* EQUATION DIFFÉRENTIELLE DE CLAIRAUT. 
Mais la relation (36) est aussi vérifiée en annulant l’inverse, 
x _|_ cp'(y ) f du facteur d’intégrabilité, ce qui conduit, comme nous le 
savons, à la solution singulière. Effectivement, si l’on tire y' de 
l’équation x cp'(jd) = o pour en porter la valeur dans (35), ou, vu 
la possibilité d’appeler c la quantité y' qu’on élimine, si l’on tire c de 
l’équation x -+- cp'(c) = o, pour en substituer la valeur dans (Sj), on 
fait précisément les calculs qui arriveraient à déterminer l’enveloppe 
de la famille des droites (37), puisqu’on élimine c entre l’équation (37) 
et l’équation -o, c’est-à-dire x + cp '(c) = o. Ainsi, la courbe lieu 
des points {oc, y) représentés par l’équation résultante n’est autre que 
l’enveloppe de la famille (37) de droites, conformément à ce que nous 
avons observé plus haut (p. 233*), que la solution singulière corres 
pond bien à l’enveloppe de la famille de lignes exprimée par l’inté 
grale générale. 
On voit que l’équation de Clairaut était très propre à mettre en 
vue l’existence des solutions singulières, ainsi que leur importante 
propriété géométrique (qui en fait le lieu des réunions ou des sépa 
rations d’intégrales) et leur rapport intime avec les facteurs d’intégra 
bilité. Aussi a-t-elle été, au xviu e siècle, un des premiers exemples 
qui appelèrent l’attention des géomètres sur ces solutions, dont la 
découverte se trouvait, il est vrai, déjà comprise implicitement dans 
celle des courbes enveloppes faite par Leibnitz vers la fin du siècle 
précédent.