2* ÉQUATION AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES 
finies, continues et bien déterminées en tous les points (x,y,z) de 
l’espace situés aux distances finies de l’origine. Et l’on aura tout avan 
tage à mettre l’équation dz = Udx + Wdy proposée sous la forme 
plus symétrique 
( ! g ) X dx -t- Y dy -+- Z dz = o. 
Au lieu de chercher de suite les surfaces demandées, dont les élé 
ments rectilignes, y joignant un point quelconque {x, y, z) à tout 
autre voisin (x dx, y -h dy, z -+- dz), vérifient cette équation (i5), 
contentons-nous d’abord de construire, dans l’espace indéfini, des 
lignes qui y satisfassent, lignes dont une famille existera sur telle sur 
face que l’on voudra, représentée par une équation de la forme 
f{x,y,z) = o. En effet, l’on peut se déplacer sur une telle surface, 
à partir d’un quelconque (x, y, z) de ses points, le long de tout élé 
ment rectiligne situé dans le plan tangent, ou ayant ses projections 
dx, dy, dz sur les axes dans les rapports mutuels qui don 
nent dx + dy + dz — o. Or, rien n’empêche de compléter 
dx dy J dz 
la détermination de ces deux rapports en leur faisant vérifier comme 
seconde équation, également du premier degré, la relation ( i5). Et si 
l’on opère sans cesse de même, à partir du point [x -\- dx, y y- dy, zy-dz) 
où l’on sera ainsi parvenu, le chemin suivi de proche en proche sur 
la surface f — o satisfera bien à (i5). Donc, en y prenant un nou 
veau point de départ à côté du premier, puis un troisième, etc., 
l’on obtiendra, sur cette surface quelconque donnée, toute la famille 
dont il s’agit, de lignes vérifiant l’équation (io). Mais la question en 
vue est de savoir si, parmi toutes les surfaces possibles, il en existe 
de telles, que des lignes quelconques menées par chacun de leurs 
points, et non pas une seule, y satisfassent ainsi à (i5). 
A cet effet, choisissons préalablement, comme surfaces sur lesquelles 
nous tracerons une famille de lignes vérifiant (x5), les simples plans 
horizontaux z = const., afin de ne faire varier d’abord que les coor 
données x et y. Autrement dit, construisons dans l’espace les lignes 
de niveau qui satisfont à (i5) et qui, si les surfaces demandées existent, 
seront forcément leurs propres courbes de niveau. Comme on aura, 
le long d’une telle ligne, dz = o, et que la valeur constante de s y sera 
donnée, l’équation (i5), devenue ILdx + Y dy — o, y fera partout 
connaître le rapport ou y', en fonction des coordonnées variables 
x, y et de la coordonnée constante z ; ce qui déterminera de proche