COMPLÉMENT A LA TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. 
SUR LES SOLUTIONS SINGULIÈRES DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 
SIMULTANÉES OU D’ORDRE SUPÉRIEUR; CERTAINS CAS D’ABAISSE 
MENT DE CES DERNIÈRES ÉQUATIONS; ETC. 
373*.—Unité du système desintégrales générales; possibilité de quelques 
intégrales singulières et calcul direct de celles-ci. 
L’exemple de l’équation unique du premier ordre et de ses solu 
tions singulières prouve qu’il peut y avoir quelquefois, à partir d’un 
même système de valeurs x, y, z, //, . . ., plusieurs intégrales possi 
bles, c’est-à-dire, outre les fonctions y, z, 1/, ... dont il vient d’être 
parlé (*), d’autres fonctions Y, Z, U, ..., de x, satisfaisant égale 
ment aux équations (1) [p. 189], 
y — fl ( x ‘.y •> j Uj • • • )> — fi Mi • • • )> u ~ ./3 t y •> Uj • • • )i • • • • 
11 importe de démontrer que ces valeurs, tout comme dans le cas 
d’une équation unique, sont exceptionnelles, et qu’il n’existe, par 
suite, qu’un seul système d’intégrales générales. A cet effet, reprenons 
la démonstration donnée dans la dernière Leçon (p. 229*). Observons 
qu’on aura, d’après les mêmes équations (1), 
Y'=/i(.r,Y,Z,U,...), Z' = / 2 (#,Y,Z, U,...), V — f 3 (x, Y, Z, U,...), ... 
depuis la valeur x, pour laquelle N , Z, U, ... se confondent avec 
y, z, u, . . ., jusqu’à une valeur très voisine æ + e; et il viendra 
r x+t 
Y —y = / [/iO,Y,Z, .. .)—ffx,y,z,.. .)]dx, 
X 
Z — z = Í [/s(îf,Y,Z, ...)— ffx,y,z, ...)]dx, etc. 
'' X 
Mais il est encore évident que, dans ces équations, les fonctions pla- 
(’) Voir la Partie élémentaire, p. 190.