INTEGRALES SINGULIERES ET INTÉGRALES ASYMPTOTES 
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à l’infini les dérivées partielles des seconds membres de ces équa 
tions par rapport à y, z, u, .... 
375*. — Propriété qu’ont les solutions singulières et, sous certaines 
conditions, les solutions asymptotes, de rendre infinis un ou plusieurs 
des facteurs d’intégrabilité. 
Il est bon de remarquer qu’il n’y a qu'un seul cas où l’on n’ait pas 
le droit de multiplier, comme on l’a fait au numéro précédent (Par 
tie élémentaire, p. 191), les équations proposées dy—f x dx — o, 
dz—f^dx — o, ..., par les facteurs f-i •••> et puis de les 
ajouter pour en déduire l’équation dv — o : c’est le cas où l’un au 
moins des facteurs considérés est infini d’une manière continue, 
c’est-à-dire pour les valeurs successives considérées de x, y, z, u, .... 
Donc, toutes fonctions j', z, u, ... de x qui satisfont* aux équations 
proposées dy — f v dx ~o, dz — f^dx = 0, .. ., vérifient également 
la relation dv — o et aussi, par suite, l’équation intégrale o — c, à 
moins qu’elles ne rendent sans cesse infini quelqu’un des facteurs 
. . , cio , 
d’intégrabilité correspondants ^ ^ -■ En conséquence, les so- 
■) 
lutions singulières que peut admettre le système proposé, et qui 
échappent à une intégrale générale cp — c, s’obtiendront en éga 
lant à l’infini les divers facteurs d’intégrabilité employés pour 
former cette intégrale. 
Les solutions singulières ne sont, d’ailleurs, pas les seules aux 
quelles on parvienne généralement en égalant ainsi à l’infini les fac 
teurs d’intégrabilité. Les intégrales que j’appelle asymptotes, c’est- 
à-dire dans le voisinage desquelles se trouvent, pour une valeur dési 
gnée quelconque de x, certaines intégrales particulières y différant 
entre elles incomparablement moins qu’elles ne le font pour d’autres 
valeurs de x, s’obtiendront en même temps, comme dans le cas d’une 
équation différentielle unique (p. 235*) ou d’une simple famille de 
courbes planes, si du moins les n constantes c ont pu être choisies de 
manière que leurs petits changements Ac soient de l’ordre des écarts 
A>-, A^, A u, ... les plus grands entre les deux fonctions correspon 
dantes y, ou z, ou u, etc. Partout, en effet, où, dans ces conditions, 
des intégrales voisines seront infiniment plus proches qu’ailleurs, 
leurs écarts mutuels A y, A z, A u, ... se trouveront tous infiniment 
moindres que la différence A c éprouvée de l’une à l’autre par leur pa 
ramètre c, qu’exprime la fonction cp(x,y,z, u, ...); ce qui, évidem 
ment, ne pourrait avoir lieu pour des valeurs de x, y, z, u, . . . ren-