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EXEMPLES D’ABAISSEMENT D’eQ. DIFFER. I CCTURBE ÉLASTIQUE; 
en posant x — y ni 1 + a- coscp et introduisant ainsi, comme variable 
d’intégration, un angle aigu positif cp qui, entre x — o et x — a, dé 
croîtra de - à la valeur cp 0 dont le cosinus est ■ ■ ou, la tan- 
a ‘ y/ ni- -+- a 2 
gente, — Alors de 
a 
(•20.) x — y/ni 2 -v- a 1 cos cp, il résulte dx =—y///¿ 2 -t— a 2 sincp <2cp; 
et les formules (21), en y remplaçant partout cos 2 cp par 1 — sin 2 cp, 
puis faisant a — A -2 , donnent 
2 ni' 2 
y = 
i 
•'-? ni 2 — [■un 2 
— -4- a 
2 ) sin 2 cp] 
*■ 9« 
y/2 ni 2 — ( m 2 -4- a 2 ) sin 2 © 
rfc 
(a3) 
™ r 9 d( ? ' /- r'■ / 7 
= — / ‘ —- - - — ni y 2 I y/ 1 — A 2 si n 2 cp acp 
V 2 «a¡p 0 ^ 1 — A 2 sin 2 cp ./ ?fl 
;n 2 ¿Acp _ m _ r/cp 
< y/A m 2 ( /7t 2 H- a 2 ) sin 2 Cp y/2 -/<p 0 y/ 1 — A 2 sin 2 Cp 
ce qui, par l’intermédiaire de l’angle cp =: arc cos - ■> ramène bien 
y/ ni~ i a 2 
i mmédiatement les deux fonctions y et s de x aux deux fonctions ellipti 
ques F( A’, cp) = Ç ( ^° - et E(A~,©) — i \ 1 — A’ 2 sin 2 cpr/cp. 
J0 v 1 — A 2 sin-cp ‘ Jo 
On remarquera notamment que l’arc s de la courbe élastique s’ex 
prime au moyen de l’intégrale de première espèce F (A, cp ) toute seule 
et en constitue, par conséquent, une représentation géométrique. 
La longueur AB du ressort étant censée connue, la constante OA = a 
devra être telle que, dans la formule (28) de l’arc s, l’on ait 5 = cette 
longueur AB pour la valeur de cp donnant x (ou \J a- cos?) égal 
G 
à l’abscisse — de l’extrémité B. Telle est donc la condition par laquelle 
se déterminera le paramètre inconnu a. 
Quand, en second lieu, m se trouve plus petit que a (ce qui donne 
rait Aa>i), la quantité placée sous les radicaux dans (21), savoir 
(■m 2 -\-a 2 — x % ) (m 2 —a ï ~ s r x‘ l ), devient de la forme (a 2 — x % ) (x- — ¡B 2 ), 
qui n’est pas de celles dont nous avons fait, au n° 253* (p. 3o*), une 
étude spéciale. Maison la ramène à l’une de celles-ci en prenant pour 
nouvelle variable t, d’après une indication de la fin de ce numéro 
(p. 34*), le facteur \Ja- — x- du radical, après quoi l’on intro 
duit un angle auxiliaire cp, aigu et positif, donné par la condition