PROCÉDÉS POUR ABAISSER I/ORDRE DE CERTAINES ÉQUAT. DIFFÉRENT. : 
383*. — Autres cas d’abaissement, spéciaux à des équations présentant 
certains genres d’homogénéité. 
H est quelques autres cas, offerts par des équations différentielles 
présentant certains genres d’homogénéité, où un changement soit de 
la fonction y, soit de cette fonction et de la variable indépendante x, 
suffit pour abaisser l’ordre de l’équation. 
Le plus simple, reconnu par Euler, est celui où tous les termes sont 
du môme degré relativement à y et à ses dérivées ; de sorte que l’équa 
tion, divisée par une puissance convenable de y, contienne seulement, 
'Y Y Y t~v 
avec x, les rapports —, — > — > etc. Prenons pour nouvelle fonction 
y y y 
le premier de ces rapports, ou posons — = u. Nous tirerons de là 
y' — uy et, par suite, y" = u y h- uy', y'" — u!'y -1- i u'y'-y uy", 
Lin divisant par y, il viendra, au moyen de substitutions évidentes, 
Y~) \ÿ 
ir 
!- a — = u!' -y 2 u a u( u -h id-), 
y y \ 
U 
Ainsi, tous les rapports, à y, des dérivées successives de y s’expri 
ment en fonction de la quantité u et de ses dérivées d’ordres moin 
dres. Donc, l’équation, en u, ne sera plus que de l’ordre n — i. Si l’on 
parvient à l’intégrer, il viendra une relation de la forme u=f{x), 
Y 
ou — = /(¿c), dont l’intégrale est 
logy — jf{x)dx -i- une constante loge, ou y = ce$f (x)dx — ce Sudx . 
I ne homogénéité d’une autre espèce, qui conduit à un abaissement 
de deux unités, se présente quand 1 équation ne contient jias x et se 
trouve réductible à la forme f\^y, yj’ ‘ • j = o. On peut, en 
effet, pour abaisser d abord d une unité son ordre, lui appliquer la 
seconde transformation indiquée au n° 381, ou qui consiste à adopter y 
comme variable et y' comme fonction. Or les formules (i5) de ce 
numéro (p. 198) montrent que y", y'", . . . deviennent alors, dans tous 
leuis teimes, respectivement du second degré, du troisième, etc., de 
manièie à rendre les quotients Jyj’ yy > • • homogènes du degré zéro.