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ENTRE TROIS VARIABLES, DONT DEUX SONT INDÉPENDANTES. 3* 
en proche, soit en projection horizontale, soit dans l’espace avec l’ad 
jonction de l’équation z — const., la direction suivant laquelle on 
devra marcher pour construire les lignes en question. Si donc on peut 
intégrer, comme on dit, l’équation différentielle y' — — y qui les 
régit, c’est-à-dire former l’équation générale de la famille de telles 
courbes situées sur chaque plan horizontal z — const,, cette équation 
contiendra un paramètre c, sorte de numéro d’ordre caractérisant la 
courbe dans sa famille (t. I, p. 125 ), en outre de z qui est un second 
paramètre servant à distinguer chaque famille des autres; et, sup 
posée résolue par rapport à c, elle sera de la forme c — F [x, y, z), où 
F désignera une fonction désormais connue. Partout, d’ailleurs, les 
deux dérivées de F en x et y seront respectivement proportionnelles à X 
et à Y, puisque la valeur de “ tirée de cette équation c — F sans faire 
, . . . , ¿/F r/F , , • i 
varier s ni c, valeur qui est le quotient de — par — , égalé identi- 
X d¥ 
quement — y * F)onc, si l’on appelle X le quotient de par X, quotient 
désormais connu en fonction de x, y et z, on aura 
(16) 
S =lx> ^ = XY - 
Or les courbes de niveau c = F{x, y, z), ainsi définies par deux 
paramètres z et c, pourront, d’une infinité de manières, en passant de 
chacune d’elles à toute autre juxtaposée ou très voisine, et ainsi de 
suite, être associées en séries, couvrant et dessinant des surfaces parmi 
lesquelles se trouveront évidemment celles qu’on cherche, si elles exis 
tent. Il est clair que, dans toutes ces surfaces, ainsi formées débandés 
élémentaires comprises entre deux lignes de niveau c — F(x,y, z), 
le paramètre c varie avec z ou se trouve fonction de z. Donc leur 
équation commune peut s’écrire c — F(#, y, z), pourvu que c y dé 
signe une fonction arbitraire de la forme ^(s). Et il ne reste qu’à 
choisir, s’il est possible, cette fonction c — ( H- S ), de manière à faire 
vérifier ( 15) par tous les éléments rectilignes de la bande comprise 
entre deux lignes de niveau consécutives, éléments qui joindront un 
point quelconque {x, y, z) de l’une d’elles F{x, y, z)—ck tout point 
voisin {x H- dx, y -+- dy, z -+- dz) de l’autre F (x, y, z) = c -t- de. Or, 
d’après les deux équations évidentes, 
c = F(x,y, z) et c de — F (a? -+- dx, y dy, z ■+■ dz), 
la relation entre dx, dy, dz caractéristique, sur cette bande, de la