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PROCÉDÉS D’ABAISS. POUR LES ÉQUAT. LIA'. ROM. : ÉQUAT. DE RICCATI ; 
384*. — Exemple : abaissement de l’ordre d’une équation linéaire sans 
second membre ; réduction de l’équation non linéaire de Riccati à une 
telle équation linéaire, mais du second ordre. 
Une équation linéaire sans second membre, c’est-à-dire sans terme 
indépendant de la fonction y et de ses dérivées, offre le plus simple 
ment possible le premier cas d’homogénéité, puisque y, y', y", ... 
n’y figurent qu’au premier degré. On en abaissera donc l’ordre d’une 
unité en prenant pour fonction inconnue le rapport —• 
y 
Soit, par exemple, l’équation linéaire et homogène du second ordre 
09) 
y"-y Vy' y- Qy — 
où P et Q sont deux fonctions explicites quelconques de x seul. Si on 
l’écrit —- -h P — -+- Q = o, les deux premières formules ( 27 ) la chan- 
y 
y y 
geront en celle-ci, 
(3° ) 
CÌU 
dx 
P U 
«*-+- 0 = 
du premier ordre, mais non linéaire, et comprise dans le type quadri- 
nôme (27) de la dernière Leçon (p. 2-40*). 
D’ailleurs, la transformation qui a permis (p. 240*) de faire éva 
nouir le second terme de cette équation (27), s’applique directement 
à la proposée. Elle consiste à poser 
(3g y = a Y (d’où y'= aY’+ a'Y, y" = aY"+ aa'Y'-h a"Y), 
ce qui change (29) en 
(32) aY"+(2a'-4-Po[)Y'+(a”-f- Pa'+Qa)Y = o, 
puis à déterminer a de manière à annuler Je terme en Y', c’est-à-dire 
par la condition aa' + Pamo. L’on obtient a — e 2 ^ dx ^ e t l’équa- 
dy 
dx 
{a — c)m 
il suffit d’égaler les deux exposants de x, savoir 
b c 
2 m et 
c, en prenant ni — 
pour faire disparaître ces fac- 
teurs en x qui, seuls, empecliaient 1 équation transformée d'être de la forme voulue 
■/(2,’ y > x y J — °. Ainsi, l’équation binôme du second ordre est généralement 
réductible au premier ordre, comme l’avait encore trouvé Euler.