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ÉQUAT. DU SECOND ORDRE DONT ON CONNAIT UNE SOLUT. PARTICULIÈRE. 257* 
tion (32), divisée para, devient Y"+^ + P | +QjY = o, rela 
tion qui est bien de la forme (29) avec P = o. 
Faisons ainsi P = o dans (29), ou donnons-nous l’équation 
y" + Q/ = o; et sa transformée (3o) en u sera u' -h ?e 2 + Q = o, équa 
tion identique (sauf la notation u au lieu de 7) à celle (3o) de Ric- 
cati (p. 241*) quand on prend Q de la forme —ax m . Ainsi, les in 
tégrations des deux équations, l’une, linéaire et binôme, mais du 
second ordre, l’autre, du premier ordre, mais trinôme et non Li 
néaire, 
(33) y" = ax m y, u'-1- iP- = ax m ( avec u = • — 
\ y J 
constituent deux problèmes étroitement liés ensemble. Le second, 
qui est celui de Riccali, se ramène donc au premier, que l’on juge 
ordinairement plus simple. Il suffît d’ailleurs d’y obtenir une inté 
grale particulière, c’est-à-dire une quelconque des fonctions 7 de x 
donnant y”— ax m y; car l’expression correspondante — de u sera une 
solution particulière de l’équation de Riccati u' -+- id- — ax m , ce qui 
ramènera aux quadratures, comme on a vu à la fin du même n° 370* 
(p. 242*), la formation de l’expression générale de u. 
383* — Réduction, aux quadratures, de l’intégration de l’équation li 
néaire du second ordre dont une solution particulière est donnée ; 
abaissement de l’ordre de toute équation linéaire, avec conservation 
de la forme linéaire, quand on connaît une ou plusieurs intégrales 
particulières de l’équation analogue sans second membre. 
Cette propriété, établie au n° 370*, en vertu de laquelle J’équaliou 
(3o) ci-dessus peut être intégrée d’une manière générale dès qu’on 
donne une de ses solutions particulières, appartient aussi à l’équa 
tion (29), puisque la connaissance d’une solution particulière de (29) 
entraîne celle de la solution correspondante u — J ~ de (3o) et, par 
suite, l’intégration complète de (3o), c’est-à-dire la formation géné 
rale de u, d’où se déduira, pour 7, l’expression non moins générale 
Qgfudx 
On le reconnaît directement sur l’équation (29) en y prenant, comme 
ci-dessus, 7 = a Y, mais en y supposant a solution particulière de 
l’équation, c’est-à-dire tel, que a"+Pa'+Qtir:o, de manière à 
annuler, dans la transformée (32), le terme en L, et non plus le terme 
B. — II. Partie complémentaire, 17