COMPLÉMENT A LA TRENTE-HUITIÈME LEÇON, 
CONCERNANT LA THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 
393*. — Absence de solutions singulières et d’intégrales asymptotes 
distinctes, dans les systèmes d’équations linéaires. 
Les facteurs intégrants de tout système d’équations linéaires étant 
des fonctions explicites de la variable indépendante x seule, de même 
que le sont les dérivées, par rapport aux fonctions inconnues y, z, 
u,..., des expressions linéaires de y', z', u r , ... données par ces 
équations, ce sera au jfius pour des valeurs isolées de x, mais ja 
mais pour aucun ensemble de fonctions y, z, u, . . . de x, que devien 
dront infinis l’un des facteurs intégrants ou l’une des dérivées. Il 
n’y aura donc pas plus de solutions singulières dans un tel système que 
dans une équation linéaire du premier ordre ; et, même, nulle jonc 
tion d’intégrales n’y sera possible si ses coefficients sont, par exemple, 
constants. 
Il est facile de voir, en raisonnant à peu près comme on l’a fait 
(p. 289*) pour ce cas d’une équation linéaire unique, qu’un système 
linéaire n’admettra pas davantage d’intégrale asymptote distincte. 
Car les solutions générales y, z, u, .. . d’un tel système seront du 
premier degré par rapport aux constantes arbitraires c¡, c 2 , . . .,c n et 
si, partant d’intégrales particulières considérées y, z, «,..., on fait 
varier c t , c 2 , ...,c n de petites quantités A c x ~ k^z, Ac 2 = k t z, ., 
lc n = k n z, prises entre elles comme des nombres constants arbitraires 
A'i, k 2 , k n , . . ., les accroissements correspondants de y, z, 11, . . . éga 
leront les produits, par la petite quantité e, de certaines fonctions 
de x et de k u k 2 , . . ., k n seuls, produits constituant, par conséquent, 
entre les intégrales dont il s’agit et leurs voisines, des écarts que l'on 
retrouverait exactement pareils auprès de tout autre système d’inté 
grales. Donc, quand x varie, les mêmes circonstances de rapproche 
ment ou d’écartement entre solutions voisines se produisent aux en 
virons d’intégrales quelconques, et non de préférence près de certaines 
d’entre elles; ce qui empêche évidemment chacune d’être plus ou 
moins asymptote que les autres.