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COMPLÉMENT A LA TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. 
CALCUL DE DIVERSES INTÉGRALES DÉFINIES, SE REPRODUISANT PAR 
DEUX OU PAR QUATRE DIFFÉRENTIATIONS; INTÉGRATION DE CER 
TAINES ÉQUATIONS LINÉAIRES A SECOND MEMBRE. 
401*. — Emploi d’équations linéaires du second ordre pour le calcul de 
certaines intégrales définies, qui se reproduisent par deux ou par 
quatre différentiations. 
Une équation linéaire n’admettant pas d’autre solution que celles 
que donne son intégrale générale en y spécifiant les constantes arbi 
traires, toute fonction y de x qui vérifiera, par exemple, l’équation 
y"±y—o devra nécessairement être de laformey^Cj cosvr-h c 2 sin x 
ou coh¿c -t- c. 2 sih¿c, suivant que l’on aura y" — — y ou y" —y. 
Donc, de cette forme, on déduira la valeur des intégrales définies y 
que leur dérivée seconde par rapport à un paramètre x égalerait avec 
ou sans changement de signe, si l’on peut y déterminer c l et c 2 grâce 
à la connaissance préalable de l’intégrale et de sa dérivée y' pour une 
valeur particulière de x, ou grâce à d’autres circonstances, telles que 
l’évanouissement asymptotique de y pour x — oo, etc. 
Soient, en premier lieu, les deux intégrales, désignées par cp ou par 
± cp au n° 3Í7* [p. 182*, form. (9)], 
(45) y 
=,[ COSl 
nous les appellerons ici, respectivement, y et y 1 , vu que, d’après la 
première formule (6) du n° 3i6* [p. 181 *], la seconde est la dérivée 
de la première par rapport à son paramètre x (supposé positif et 
nommé t dans ces numéros). D’après la deuxième des mêmes for 
mules (6), on aura y"= rpjy. Et comme, d’ailleurs, pour x =0, les 
deux valeurs de y et de y 1 seront / sin — ch et ± / cos — ch, 
J 0 2 J 0 2 
c’est-à-dire — et ± — en vertu des deux dernières formules (4) de 
1 2 
la même Leçon (p. 180*), il viendra, en faisant x — o dans les deux 
ML