QUE REPRODUISENT DEUX OU QUATRE DIFFÉRENTIATIONS. 
263’ 
7' ^ Jurj 
t- i > 
llrP'IICCS; №№■ 
me 
Mt- 
;nh. lie la forme 
it* enijreitfi.iSî’i 
, ji l'on appelle?' 
vient précisément 
,int celle-ci iptre 
et me contìnue 
402*. — Autre exemple ; intégrales définies de Laplace. 
Un autre exemple, utile dans certaines applications physiques, 
d'intégrales définies qui, comme la troisième et la quatrième (46), 
sont égales entre elles et se reproduisent au moyen de deux diffé 
rentiations, est fourni par les deux expressions 
(48) 
cos(a7a) 
i -+- a 2 
d a, 
a s i n ( x a ) 
i -t- a 2 
d'i. 
Ces intégrales, bien déterminées puisque leurs éléments se succèdent par 
groupes alternativement positifs et négatifs, de même champ, mais fina 
lement de plus en plus faibles à cause du facteur évanouissant 
ou —*—-, peuvent bien être appelées y et—y r ; car la différentia 
tion en x de la première, sous le signe f, donne la seconde changée 
de signe. Or cette dernière a ses éléments, pour les très grandes va 
leurs de a, fort rapidement changeants de signe quand x varie; ce qui 
rend délicat le calcul de sa dérivée en x, à moins d’y éviter, confor 
mément à une indication du n° 319* (p. xi4*), la différentiation du 
facteur singea auquel sont dus ces changements. Il suffira, pour cela, 
d’y prendre l’arc xo. comme variable d’intégration, en posant xo. — u 
^d’oü a — — et d* — — ^ ; transformation possible pourvu que x 
diffère de zéro. 
Si, par exemple, x est positif, les nouvelles limites seront encore 
u — o, u —ce, et la seconde relation (48), devenue immédiatement 
(49) 
y— 
u sin u du 
¿C 2 —1— IL 1 ’ 
donnera, par sa différentiation en x sous le signe f, suivie d une inté 
gration par parties, 
(5o) 
k-jf 
ix u sin u du 
(# 2 -r- U 2 ) 2 
x sin u 
X 1 -t- u 1 11=0 
-/ 
HZ 
X C( 
xl 
sin u d 
^ il—0 
x cos u du 
a 2 
Or l’avant-dernier terme (intégré) s’annule aux deux limites, et le 
dernier n’est autre que y, comme on le voit en y remettant xo. au lieu 
de u et x do. au lieu de du. Donc, dans tout l’intervalle compris de 
puis une valeur positive infiniment petite e de x jusqu’à x — co, cette