ÉQUATIONS aux différentielles totales : 
dF , dF dF 
région avoisinant le point (x, y, z), est dc — ^dx-y- dy \ dz ctz 
ou, vu les expressions (16) des deux dérivées de h en x et y, 
dF 
( j y ) de — l (Xdx -+- Y dy) -i- dz. 
On voit donc, en éliminant Xdx + Y dy entre celle-ci et (i5), puis 
divisant par dz, que la bande de surface comprise entre les deux 
lignes de niveau considérées vérifiera la relation voulue (i5), à la 
° . . de 
condition, nécessaire et suffisante, que Ion ait, pour le rapport 
constant tout le long de la bande, mais d’ailleurs arbitraire, la valeur 
( 18 ) 
de rfF 
dz dz 
Ainsi, il faudra et il suffira, pour l’existence de la bande cherchée de 
surface, que l’expression ^ — XZ soit invariable tout le long de la 
ligne de niveau c = F {x,y, z), c’est-à-dire lorsqu’on y fera changer 
x et y seulement, et de manière à avoir Xdx -\-Ydy — o, ou dy et dx 
proportionnels à X et à — Y. 11 viendra donc, comme condition néces 
saire et suffisante d’intégrabilité entre deux lignes de niveau consécu 
tives et puis, de proche en proche, dans tout l’espace où l’on veut 
construire des surfaces satisfaisant à l’équation (i5), 
(19) 
= o. 
Indiquons, dans celle-ci, les différentiations à faire des deux termes 
dF 
du binôme —XZ, puis remplaçons les deux dérivées secondes 
d* F 
d(y, x) dz P ai dz d[y,x) dz 
membre, pour compléter sa symétrie, la quantité identiquement 
d dF d{lY, XX) 
d dF 
dy dx 
nulle Z ( —z ; 
d d F 
O) x 
d.l Y 
dz 
dx dy 
d.l Z 
dy 
y c’est-à-dire Z 
y et ajoutons enfin au premier 
lei 
)' 
¿XX d.l Y 
dy 
dx 
Nous au- 
d. X Z d.lX 
dx 
dz 
d.lX d.l Y 
dy 
dx 
relation où chaque double terme du premier membre, à partir du 
deuxième, sedéduit du précédent parune permutation tournante opérée 
sur les lettres x,y, z et X,Y,Z. Effectuons-ylesdifférentiationsindiquées 
des produits XX, XY, XZ, et, après avoir observé que les termes affectés