QUARANTIÈME LEÇON. 
ÉTUDE DES ESPÈCES LES PLUS UTILES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES SANS 
SECOND MEMBRE, SOIT D’ORDRE SUPÉRIEUR, SOIT SIMULTANÉES : 
ÉQUATIONS A COEFFICIENTS CONSTANTS. 
405*. — Intégration d’une équation linéaire homogène d’ordre quel 
conque, à coefficients constants. 
Il nous reste à passer en revue les principaux cas où l’on sait former 
soit pour une équation linéaire d’ordre n, soit pour n équations li 
néaires simultanées du premier ordre, les n solutions particulières, cor 
respondant à l’hypothèse de seconds membres nuis, desquelles se déduit 
ensuite l’intégrale générale de ces équations prises même avec seconds 
membres (p. 210). Le plus simple et aussi le plus utile, par suite de 
son application aux petits changements d’état physique (p. 202), est 
celui où les fonctions inconnues et leurs dérivées ont tous leurs coef 
ficients constants. 
Commençons donc par ce cas, et admettons d’abord qu’il s’agisse 
de l’équation unique, d’ordre n, 
(1) Ay ( "—P -h ByA«—2)-f-... -4- Ly'-t- My = o, 
que nous écrirons, symboliquement, 
(*) 
cl' 1 
dx n 
A 
d n ~ l 
dx' 1 - 1 
d' 1 ^- 
dx' l ~ 2 
■ + L S + M )7 = °- 
Assimilons pour un instant l’expression entre parenthèses à un po 
lynôme dont la variable serait ~ \ et décomposons-la, dans cette hy 
pothèse, en ses facteurs réels les plus simples, que nous savons être 
ou du premier degré, de la forme ~ — r, ou du second, et alors de la 
— r X j -f- ¡3 2 , si r et a ± ¡3^/— 1 désignent respectivement les 
différentes racines, les unes, réelles, les autres, imaginaires, de l’équa 
tion obtenue en égalant à zéro le polynôme. Ce dernier constituera le 
produit de tous les facteurs analogues, dont chacun, le plus souvent, 
forme 
y/ 
dx