2 n 2 * SOLUTIONS SIMPLES D’UNE ÉQUATION LINÉAIRE D’ORDRE QUELCONQUE,
n’y figurera qicime fois. Supposons qu’il en soit ainsi ou, comme on
dit, que le polynôme n’admette pas de racines égales; et appelons
respectivement a, b, , celles qui seront réelles, a rt — i,. .., les
couples de celles qui seront imaginaires. On aura donc identique
ment, en remplaçant dans (2), par ses facteurs, l’expression entre
parenthèses regardée encore comme un polynôme,
Or, quand on passe du sens algébrique au sens symbolique ou infi
nitésimal, la même décomposition en facteurs subsiste (t. I, pp. 81*
à 83*), puisque le mécanisme de la différentiation de polynômes li
néaires à coefficients constants est calqué sur celui de leur multipli
cation par • ht la même analogie permet d’intervertir l’ordre des
facteurs symboliques; de manière qu’on peut, successivement, écrire
chacun d’eux le dernier, c’est-à-dire aussitôt avant y. Mais il est évi
dent que l’équation proposée se trouve satisfaite en annulant, dans le
premier membre de (3), toute la quantité qui suit une quelconque
des expressions entre parenthèses, ou à laquelle s’appliquent les opé
rations indiquées par cette expression symbolique et par les précé
dentes. Donc, en particulier, l’équation (3) admettra toutes les solu
tions des équations du premier ou du second ordre
solutions qui sont respectivement, en appelant c, c', ..., cq, c 2 , ...
des constantes arbitraires en nombre total n,
(5) y = ce ax , y = c'e bx , . . ., y = e 0ix (c i cos 4- c 2 sin
Ainsi, les n solutions particulières cherchées, avec lesquelles se
formera Vintégrale générale, seront, sous leur forme la plus ré
duite possible. y—e ax , y = e bx ,..., y=e* x cos$x,y=e* x sin$œ,....
Nous les appellerons les solutions simples (réelles) de l’équation pro
posée. Elles s’obtiendront, comme on voit, en déterminant les facteurs