FORME DES INTÉGRALES; DÉCOMPOSITION EN MOUVEMENTS PENDULAIRES. 283* 
pourra en conclure : i° que les parties réelles a des racines ne seront 
pas non plus négatives et s’annuleront, sans quoi les facteurs e aa: en 
traîneraient l extinction ou évanouissement asymptotique des chan 
gements y, z, u,. .. ; 2 0 que les racines, ainsi réduites à leurs parties 
purement imaginaires ± [3y— i, ne pourront être d’un degré de mul 
tiplicité supérieur à l’unité, si ce n’est dans des cas où les termes de 
y, z, u, ... à facteurs algébriques ¿c™, introduits par l’égalité de deux 
ou plusieurs d’entre elles, auraient, à raison même des valeurs spé 
ciales de ces racines multiples, tous leurs coefficients (dans le genre 
de X, p, v, .. .) égaux à zéro; car de tels facteurs x m , n’étant plus 
masqués par des exponentielles évanouissantes, feraient croître indé 
finiment, avec x, les parties correspondantes de y, z, u, .. .. Donc, 
de toute manière, les solutions simples seront alors en nombre pair 
et, associées deux à deux, donneront, dans y, z, «,..., des expres 
sions purement périodiques, de la forme que nous avons appelée pen 
dulaire (p. 221) : 
y — G X cos( — c — y), 
Z = G [JL COS (P 37 — c — o), 
U = G V COS ( ¡337 — c — s), 
On voit que ces valeurs de y, z, u,... sont pendulaires et isochrones, 
ou admettent la même période 
P 
car les arcs 
>X C 0, 
croissent de 211 quand x grandit de 
P 
x — c — Y, 
Mais elles 
n’atteignent pas aux mômes instants x ce qu’on appelle les mêmes 
phases, c’est-à-dire leurs valeurs maxima, ou leurs valeurs milles, 
bref, des valeurs égales à une même fraction de leurs maximums res 
pectifs (demi-amplitudes) XG, pC, .... Les différences de phase ou, 
plus précisément, les retards 
P P 
des phases de y, z,... sur celles 
de cos( ¡3 ¿c— c), quantités dont il faut que x s’accroisse pour que 
cos ( ¡337 — c — y), cos ( ¡3 37 — c — S), . .., respectivement, deviennent 
égaux à cos (¡337 — c), dépendent, comme la période -p- ? de la nature 
du système, c’est-à-dire des équations différentielles (r3) qui le ré 
gissent, mais non de l’état initial, représenté seulement, dans la so 
lution double dont il s’agit, par les deux constantes arbitraires C et c. 
Ainsi, chaque solution double, toujours semblable à elle-meme, 
intervient, dans l’expression du mouvement général, en proportion