COMPLÉMENT A LA VINGT-DEUXIÈME LEÇON.
DE QUELQUES DIFFÉRENCES FINIES QUI SE SOMMENT FACILEMENT :
FACTORIELLES, PROGRESSIONS; SINUS ET COSINUS D’ARCS ÉQUI
DISTANTS; EXPONENTIELLES A VARIABLE IMAGINAIRE, ETC.
223*. — Extension, au cas de différences finies, de certaines des précé
dentes formules de sommation : factorielles; progressions arithmétiques
et leurs sommes successives.
Quelques-unes des formules précédentes (i) d’intégration, savoir,
celle qui est relative à f x m dx, pour les valeurs entières (autres que
— i) de m, et les trois qui concernent fe x dx, f cos xdx, f sin xdx,
sont les cas limites de relations simples et importantes permettant de
sommer non plus des différentielles, mais des différences finies obte
nues en donnant à la variable x des valeurs équidistantes, dont \x
ou h désignera l’intervalle.
Occupons-nous d’abord de la première, où l’expression dont on
somme les valeurs devient x m dx quand on fait tendre vers zéro l’ac
croissement Lx ou h. La fonction x m , pour m entier et positif, s’y
trouve remplacée par l’expression x (x — A) (x — 2 h)., .[x — (m — 1) A],
qu’on appelle une factorielle, et qui deviendrait, comme on voit, une
puissance entière de x si A s’annulait. Par suite, l’expression, analogue
à x m dx, dont il s’agit de sommer les valeurs successives quand x y
croît par intervalles A égaux, depuis une valeur initiale arbitraire a
jusqu’à une autre la dépassant d’un multiple quelconque de A, est
x {x — h) {x — 2 A) ... [x — (m-—1) A] x A, que l’on réduirait à A
si m était nul. Et la somme en question s’écrira
X x{x — A) (x — 2 A) ... [x —(m— I ) AJ A,
par analogie avec fx m dx. Mais je supposerai, en vue de simplifier le
plus possible certaines formules, que le dernier terme effectivement
compris dans cette somme soit celui qui précède le terme même
inscrit à la suite du signe X pour les représenter tous, et où x dési
gnera la dernière valeur de la variable que l’on veuille avoir à consi
dérer dans les calculs. Ici, par exemple, la somme X s’arrêtera au
