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FONCTIONS CYLINDRIQUES : CALCUL RAPIDE 
ou, avec les valeurs (106), (109) de B et A, 
420*. — Résolution rapide d’équations transcendantes où figurent 
les fonctions cylindriques. 
Ces formules (m) seront spécialement utiles quand il s’agira de 
déterminer les racines un peu élevées d’équations où figureront les fonc 
tions cylindriques. On a, par exemple, dans divers problèmes de Phy 
sique mathématique, à déterminer les valeurs positives de r qui 
annulent soit la fonction J 0 ,soit sa dérivée. L'emploi de la série (g4), ou 
de celle qui en résulte par différentiation, conduit alors à des calculs de 
longueur modérée tant qu’il ne s’agit que des deux premières racines; 
mais il devient presque impraticable au delà, c’est-à-dire précisément 
alors que les deux formules (111) commencent à être fort approchées. 
Or la forme même de celles-ci montre que J 0 et J' 0 s’annulent, alter 
nativement, quand les deux arcs entre parenthèses, qui sont presque 
de -• Ainsi, en évaluant ces racines par les relations (r 11 ), la n iè,ue 
de J 0 = o donnera 
cos 2 /' 
2 n — i 
(112) 
4 8 r 16 r- 
et la /i ième de J' 0 = o (abstraction faite de la racine nulle évidente) 
donnera de même 
3 COS 2 7' 
(n3) 
r 
r l6/’ 2 
Dans les deux cas, 2 r ne diffère d’un multiple impair de — que par 
une quantité comparable à r -1 , et cos 2/- est de l’ordre de / ,_1 , ou, le 
COS 2 r 
du troisième ordre de petitesse, c’est-à-dire négli 
terme 
geable. Les deux équations (112) et (113), réunies d’ailleurs en une 
seule à double signe, sont donc 
(4 m — 1) =f i 
4 
ou 
4