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DES RACINES ANNULANT CES FONCTIONS, OU LEURS DÉRIVÉES, ETC.
Multipliées par v, elles deviennent deux équations du second degré,
dont les racines cherchées, voisines de 1 ” 1 tc, sont enfin
Les signes supérieurs conviennent pour l’équation J 0 —o et les signes
inférieurs pour l’équation J' 0 = o. Dans le cas de l’équation J 0 —o,
les deux premières racines, obtenues en posant n = x et n=2,
sont, d’après (i i5 ), /• — a, 4o81 et r = 5,5ao4, tandis que leur calcul
direct au moyen de la série (g4) donne /-=a,4o48 et r — 5,5aoi.
Ainsi la formule (115) se trouve approchée par excès pour cette pre
mière équation J 0 =o, et il est visible que l’erreur, égale à o,oo33
seulement pour la première racine, à o,ooo3 pour la deuxième, serait
négligeable dès la troisième racine.
Quant à l’équation J' 0 = o, M. de Saint-Venant en a évalué les neuf
premières racines ( 1 ) au moyen de la dérivée de la série (q4); et,
pour les trois premières, par exemple, il a obtenu /• 3,8317,
= 7,oi56, =10,1735. Leurs valeurs approchées ( 115) sont respecti
vement 3,8291, 7,oi5i, 10,1733; ce qui montre que, pour cette
équation J' 0 = o, la formule ( 115) est, contrairement au cas de l’équa
tion J 0 = o, approchée par défaut, et en erreur, respectivement, de
0,0026, o,ooo5, 0,0002, etc. On voit que cette erreur devient négli
geable, dans la pratique, dès la troisième racine, et qu’elle n’est
même guère sensible sur les deux premières, comme il arrivait déjà
pour l’équation J 0 = o, où elle paraissait décroître, d’ailleurs, plus
rapidement.
On procéderait d’une manière analogue s’il s’agissait de résoudre
d’autres équations du même genre, dans lesquelles les deux expres
sions Acos(/*— B), Asin(/’ — B) seraient combinées, soit linéaire
ment, soit avec le facteur y multipliant l’une d’elles [ce qui avait lieu,
d’après la formule (no), pour l’équation J' 0 = o]; et, plus générale
ment, on ne manquerait pas d’utiliser la méthode de la variation des
constantes dans l’étude de la marche des fonctions qui, comme J v , se
simplifient notablement pour les très grandes valeurs de leurs va
riables.
(•) Avec l’aide de deux calculateurs qu’il y a employés pendant plus d’un mois
(■Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 8 février 1869).
B — II. Partie complémentaire.
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