IMPORTANCE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES.
Wnii,
^ partielle) a k
ii kftiJata, kt
non pluséeseiimtt
‘ivm partielles. Ê‘i
»« aprmomleht
a woir iine floiiri
'hifmtidk torà.î
un ilerim MtA
№ p. Ilitch
un Srim partie».
m àf wtke. fl®
un t'ejiarWffl*-
nomeiies MOT p*
lièrent une unf№
gn rapport OT® ■
¿Mb île f** 1 "
* eJluitk
02'3*
siques comme des fonctions de point, variables non seulement avec le
temps (s’il s’agit de phénomènes dynamiques), mais aussi d’une par
ticule à ses voisines, ou en fonction continue des coordonnées x, y, z
soit actuelles, soit primitives, au moyen desquelles on y distingue les
unes des autres toutes les particules. Or il suit de là, comme nous le
verrons plus complètement au commencement de la XLIV e Leçon,
que les influences exercées sur une particule par ses voisines, et dont
dépend presque toujours le changement élémentaire de son état, c’est-
à-dire la dérivée, par rapport au temps, des quantités définissant son
état, s’expriment au moyen de ces quantités mêmes et de leurs diffé
rences actuelles éprouvées tout autour, ou mesurées par leurs déri
vées en x, y, z; car les influences dont il s’agit sont essentiellement
fonction des états physiques réalisés dans la région de l’espace où elles
ont lieu. C’est ainsi que la dérivée de l’étal actuel par rapport au
temps se reliera à ses dérivées par rapport aux coordonnées, et que
les problèmes de Physique se traduiront analytiquement par des
équations aux dérivées partielles.
Mais plaçons-nous plutôt, dans celte Leçon ainsi que dans la sui
vante, au point de vue de l’Analyse pure et de la Géométrie, quoique
certains procédés d’intégration auxquels nous allons être conduits
doivent trouver aussi leur emploi en Mécanique physique; et quand,
par exemple, il y a seulement deux variables indépendantes x et y à
considérer, regardons-les comme deux coordonnées rectangulaires
sur un plan horizontal des xy, tandis que leurs fonctions, inconnues,
u, v, . . ., seront les ordonnées verticales z de tout autant de surfaces,
propres à représenter toutes leurs valeurs.
422*. — Signification des équations aux dérivées partielles; existence
et étendue de leurs intégrales générales, dans les cas où une des va
riables indépendantes peut être choisie comme variable principale.
11 arrivera assez souvent que, pour une certaine valeur, x 0 , de
l’une, x par exemple, des variables indépendantes, les fonctions u,
c, ... seront données directement dans tout le champ où varient les
autres variables y, z, . . ., et qu’elles en égaleront certaines fonctions
arbitraires œ(_y, z, . . .), ty{y, z, . ..), .... Alors x jouera le rôle
qu’avait la variable indépendante unique quand il s’agissait de sim
ples équations différentielles. Autrement dit, c’est à ses valeurs suc
cessives, de plus en plus éloignées de x 0 , que correspondront les
changements continus éprouvés de proche en proche par u, ç, ... à
partir de leurs valeurs initiales données
u 0 = •••), = ...)> •
* * )
