3a4* ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES : LEUR SIGNIFICATION; 
comme il arrivait quand celles-ci, faute de variables y, z, . . . autres 
que x, étaient de simples constantes arbitraires. Une telle quantité 
x sera dite la variable indépendante principale. 
Cela posé, quand, dans une équation aux dérivées partielles où 
figurera une fonction inconnue a, la dérivée de a la plus élevée rela 
tivement ci la variable principale x sera une dérivée directe, ou 
prise uniquement par rapport à x, l’ordre de cette dérivée directe 
constituera ce qu’on appelle l’ordre même de l’équation, eu égard 
à la variable principale choisie, et, l'équation, résolue par rapporta 
cette dérivée directe, admettra une signification facile à saisir. 
Supposons, par exemple, que l’équation, à trois variables x, y, u 
dont deux, x et y, indépendantes, soit du premier ordre en x, ou ne 
contienne, à part x, y, u et des dérivées quelconques de u en y, que 
la dérivée première de u en x. Alors, en la résolvant par rapport à 
celle-ci, on la mettra sous la forme 
(0 
du [ o 
du d- u 
Jy’ d f- ' 
Or on donne, par hypothèse, pour x = x 0 , les valeurs u 0 = v(y) de 
la fonction inconnue et, par suite, toutes ses dérivées successives en 
y y y 1 (y)' En d’autres termes, nous connaissons entièrement 
la coupe u — cp(y), par le plan x — x^, de la surface demandée, 
u — F(.r,y), qu’il s’agit de construire conforme à l’équation (i). Si 
donc nous convenons de faire tracer cette surface par une courbe, 
graduellement déformable, d’un plan mobile x — const. sans cesse 
normal aux x, courbe dont chaque point pourra être censé garder la 
même coordonnée y ou se mouvoir dans un plan vertical parallèle 
aux x, l’équation (i) définira à tout instant, ou pour chaque valeur 
de ¿u, la pente de la trajectoire de ces divers points, en fonction 
du 
continue de leur situation {x, y, u), et de la pente —, ou des cir- 
constances de forme 
d- u 
dy 2 
• ? qu’y affectera la courbe génératrice. 
Toutes ces données étant fournies quand x — x 0 , il existera au début, 
pour chaque point décrivant, une direction déterminée, que fixe la 
pente suivant laquelle il pourra se mouvoir pour arriver, avec la 
file entière u — o{y), dans un plan x = const. voisin de x — x 0 . Et 
comme il en sera de même de proche en proche, ou que la courbe 
décrivante aura sans cesse devant elle une voie ouverte par l’équation 
(i) [sauf les cas de valeurs f(x,y, u, ...) imaginaires ou infinies], la