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EXISTENCE ET ETENDUE DE LEURS INTEGRALES GENERALES. 
325* 
surface u — ¥{x,y) sera possible, à partir d’une première coupe 
z/ 0 — o(r), tracée arbitrairement (au moins entre certaines limites) 
dans le plan x = x 0 . 
Il est clair que, s’il figurait dans le second membre de (i), outre x 
et y, d’autres variables indépendantes z, . . ., avec des dérivées quel 
conques de n par rapport à ces variables, soit seules, soit mêlées à y, 
les valeurs de u initiales, ou correspondant à x — x 0 , constitueraient 
ensemble une fonction arbitraire de la forme u 0 = r fy, z, ...), au 
lieu de « 0 =zo(/), et que l’équation (i) continuerait à définir, de 
proche en proche, une certaine manière possible de faire varier u en 
fonction de x, pour chaque groupe fixe de valeurs de y, z, ..., et 
presque de même pour des groupes très voisins, de manière à com 
poser, en accord avec l’équation (i), une fonction u = ¥{x,y, z, ...) 
continue non seulement par rapport à x, mais aussi par rapport à y, 
z, .... Ainsi, toute équation aux dérivées partielles, du premier 
ordre par rapport à la variable indépendante principale x, admet 
une intégrale générale, dans laquelle les valeurs initiales de la 
quantité à déterminer u constituent une fonction arbitraire des 
autres variables y, z, .... 
Celte intégrale générale est d’ailleurs unique ; car, en nous bor 
nant, par exemple, au cas des deux variables x, y, si, pour une cer 
taine valeur x de la variable principale, deux fonctions distinctes 
u, U devenaient possibles, on aurait, pour les valeurs suivantes, 
jusqu’à une autre très voisine xy-z, non seulement l’équation (i), 
mais encore celle-ci 
(2) 
d¥ d- U 
J \ ’ U ’ dy ’ dy*’ )’ 
et, par suite, la différence d’abord nulle U — u aurait sa dérivée en x 
donnée par la relation 
c?(U — u) .( d\] d' 1 U \ ./ du d' 1 a \ 
< 3) ~d~ = A v ’ D, i’F"r / ( w ‘’ÿ’5 5r '7 
Or, sauf pour des systèmes spéciaux de valeurs des quantités#,/, u, 
du d*u . -, 
dy’ ~dÿ5’ * ’ * ’ et aussi <aes ra PP orts 
: d{ U — u) i <r/ 2 (U — u) 
U — u 
dy 
U — u 
dy 2 
qui ne peuvent devenir qu’exceptionnellement infinis, la fonction 
f n’éprouve, quand on y change u, • • • en U, • • •, qu’une