3s6 
* ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES : LEUR SIGNIFICATION; 
variation comparable à U — u. Donc, en général, le second membre 
de (3) est de l’ordre de U — u, ou reste inférieur (en valeur absolue), 
pendant que x croît de s sans que y varie, au produit d’une quan 
tité finie K par la dernière valeur de la différence, d’abord nulle et 
croissante, U — u. Alors l’équation (3), multipliée par dx et intégrée 
dans tout l’intervalle e, donne évidemment 
(4) U- u < K(U — u)s (en valeur absolue), 
inégalité impossible quand U — u diffère de zéro, à cause du coef 
ficient infiniment petit K s de U — u dans le second membre. Donc 
cette différence U — u s'annule; et la solution u — V[x, y) reste 
unique, en dehors des circonstances exceptionnelles indiquées, les 
seules, qui, par conséquent, rendent possibles des bifurcations et 
des intégrales singulières. 
Cette théorie s’étend d’elle-même au cas d’équations simultanées 
du premier ordre 
/ du 
= /i| 
/ 
du 
dv 
d 2 u 
d*v \ 
j dx 
x,y, U, P, . . 
" dy’ 
dy ’ " 
dfi 2 ' ••*; 
dv 
= /»l 
( 
du 
dv 
d 2 u 
\ 
\ dx 
\x,y, U, P, . . 
■'T/ 
dy 5 
’’ dy*’ 
•••)’ ■■ 
où plusieurs surfaces u = ¥ fix, y), p = F . 2 (x,y), ... sont tracées à 
la fois par tout autant de courbes d’un môme plan mobile ¿c = consl., 
chaque point décrivant ayant à tout instant sa direction, définie par 
ou par • • •, sous la dépendance des autres, situés au-dessus 
ou au-dessous de lui, et même des circonstances de forme qu’j pré 
sentent les courbes génératrices. Mais il est évident qu’alors l'état 
initial comprend autant de fonctions arbitraires 
“o = <p (y), D> = <K7)> 
qu’il y a, dans le système (5), d’équations ou d’inconnues u, v, ...; 
et il est clair en outre que, s’il ne s’agissait pas de simples surfaces, 
ou qu’il y eût plus de deux variables indépendantes^,^, ces données 
initiales comprendraient des fonctions arbitraires u 0 = v{y,z, ...), 
fo — ty{y, z, • ••), •••> de toutes les variables indépendantes autres 
que la principale, x. 
Or on voit de suite qu’une équation du second ordre, de la forme 
(6) 
r = /(#>7, u, p, q, s, t), 
où p, q, r, s, t désignent, suivant l’usage, les dérivées respectives,