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3g8* EXEMPLES DU CALCUL, EN SÉRIE, D’ÉTATS PHYSIQUES VARIABLES ; 
t = o, reçu dans le plan des xy une forme arbitraire légèrement 
courbe, vibre transversalement ou éprouve de petits déplacements sui 
vant les y; d’autre part, l’exemple d’une barre conductrice, s’étendant 
encore de x=o à x — a et latéralement imperméable à la chaleur, 
lorsque, après avoir été initialement portée à des températures quel 
conques, elle se refroidit par ses deux bouts supposés sans cesse main 
tenus à la température zéro. 
En appelant tp, dans ces questions, la fonction inconnue, déplace 
ment ou température, à l’époque t, d’un tronçon infiniment court dé 
fini par son abscisse x, et en supposant choisie l’unité de tempspropre 
à simplifier le plus possible les formules, l’équation indéfinie sera la 
première ou la seconde (i5) [p. 3q2*], avec A 2 cp égal simplement à 
d 2 cp 
dx~ 
; car les variables x, y, z se réduiront à la coordonnée unique x. 
Et l’on aura, par suite, d’après les relations (16) à (20), 
(21) = X = cl, si n 3 x -f- Jlf>i COS p X. 
Quant aux conditions, de fixité ou de constance, spéciales aux deux 
limites x = o, x = a, elles reviendront évidemment à poser : i°4>=:o 
(pour x — o) ou cAo! = o ; 2 0 î | =;o (pour x — a) ou <Jb sin pa — o, ce 
qui, vu l’impossibilité d’annuler Jb sans faire disparaître la solution 
simple, montre que l’équation transcendante en p sera sinp#z=oet 
aura ses racines données par la formule générale p ~ —, où f désigne 
successivement chacun'des entiers non négatifs o, 1, 2, 3, .... On 
satisfera donc à toutes les conditions que doit vérifier en prenant 
, . ittæ 
■P zzz Sin • 
a 
Enfin, les données d’état initial étant que 
(pour t — o) cp = une fonction f{x) donnée arbitrairement de x 
o a x — a, 
do 
avec la condition d’une dérivée ~ (ou vitesse) nulle à l’époque t — o 
dans le cas de la corde, il faudra s’en tenir à la solution ( 11) [p. 3qo*], où 
l’on déterminera les coefficients C de manière que S C $ —f{x), ou que 
(22) 
2 c sin ür =/(*>’ 
depuis x — o jusqu’à x 
Or la formule trigonométrique de Lagrange (43) [p. 167*] montre 
qu’il sera nécessaire et suffisant, pour cela, de poser 
(23)