CORDE VIBRANTE J REFROIDISSEMENT D’UNE BARRE. 3gg* 
conformément à la règle indiquée par la formule (i4) ci-dessus 
[p. 092 ]> où p égalé ici 1, règle qu on avait d’ailleurs suivie [p. 161*]. 
pour obtenir la série de Fourieret, par suite, celle de Lagrange. 
Dans le problème de la corde vibrante, la fonction ainsi trouvée «p 
est périodique en l, car les arcs pi y sont tous multiples du premier 
d’entre eux. De plus, elle ne contient x et t que par des produits, 
2 sin fix cos p t, transformables en sinP(a? + sin P ( t), ou tous 
de la forme F (.37 + 0 + F(^c — t) ; de sorte que la fonction o elle- 
même admettra cette forme. 
On le reconnaîtrait d ailleurs directement, au moyen de l’intégrale 
en termes finis 
<? = F, (37+ t) -+- F 2 (îp — t) 
de l’équation aux dérivées partielles du problème, en utilisant la con- 
d'*p f 
dition =0, ou F'(aH-0—F',(« —i)=o, pour ¿ = o( 1 ); etl’autre 
condition d’état initial, (p = f{x) pour t=zo, complétée par les deux 
relations aux limites o = o (pour x — o et x — a), déterminerait de 
plus, sans l’emploi d’aucune série, la fonction F, dont la valeur est 
simplement \f entre les limites zéro et a de la variable, où/se trouve 
donnée. Le résultat obtenu, aisé à prévoir synthétiquement, consiste 
en ce que la corde proposée se comporte comme la portion, comprise 
entre les deux abscisses x — o et x — a, d’une corde s’étendant de 
x — — 00 à x — oo et qui, régie par la même équation indéfinie (i5), 
aurait reçu initialement, sans vitesse, une forme symétrique par rap 
port aux deux points x = o et x — a de l’axe des x. En effet, aucune 
raison n’empêchant la même symétrie de subsister sans fin, les deux 
extrémités x — o, x — a de la portion que l’on veut considérer se 
maintiendraient, d’elles-mêmes, fixes comme si la corde tout entière 
{’) En effet, cette condition F'D-r)—F' 2 (x) = o revient à poser 
F,(x) — F 3 (x) — une constante 2c, 
F,(a?) — c = F 2 (;r) -t- c — une même fonction F(a?), 
F, {x) — F {x) ■+- c, F t {x) — F (x) — c. 
L'expression générale F,(a:-t- t) -F F,( x — i)de cp devient donc 
c’est-à-dire 
ou 
cp = F {x + t) -^r F {x — t), 
comme, du reste, on le déduirait directement de l’équation (g8) de la dernière 
Leçon (p. 363'), où nos notations actuelles donneraient 
/,= o» 
= i> 
? = — i» 
f= F-