/¡00* EXEMPLES DU CALCUL, EN SÉRIE, D’ÉTATS PHYSIQUES VARIABLES : 
s’y terminait. La fonction /et, par suite, la fonction moitié moindre 
P, se déduiront ainsi, pour toutes les valeurs réelles de leur va 
riable, de la partie de J directement donnée entre les limites x o, 
x — a. 
Mais il n’v a pas lieu ici d’insister sur cette solution finie, surtout 
dans la présente Leçon, qui a pour but principal les solutions en 
série. Revenant donc au\ expressions (11) de ce, particularisées pour 
4» = sinp.r et ¡3 = — ) supposons, par exemple, la fonction /(x) en 
tière du second degré, ou, par suite, proportionnelle à x{a — x). à 
cause des facteurs x, a — x, qu’elle doit admettre pour s’annuler aux 
deux extrémités x = o, x = a ; et, afin de simplifier autant que pos 
sible les formules, supposons choisie une unité de longueur telle, que 
l’on ait a — ir. En mettant alors j\x) sous la forme 
k - ( tzx — x-), 
O 
avec 4 constant, on pourra, au lieu de faire le calcul, d’ailleurs facile, 
du second membre de (28), utiliser le développement déjà obtenu 
(55) [p. 172*] de la fonction ^ (tt^—,/c 2 ) et prendre, par conséquent, 
G égal au produit de 4 soit par zéro, soit par suivant que i sera 
pair ou impair. Il viendra donc, en particulier, pour exprimer les 
formes successives de la corde vibrante, de longueur tc, primitivement 
courbée suivant la parabole r — 4 ~ x{~ — x), 
(24) Y ou 
= 4 
SU) X cos t 
sin ì.r COSA t 
sin 5x cos à t 
La rapidité avec laquelle décroissent les inverses de 1 3 , 3 3 , 5 3 . ..., 
dont le second n’est déjà plus que la 27 e partie du premier, assure 
évidemment la prépondérance au premier terme de la série, c’est- 
à-dire au son fondamental de la corde. 
Quand /(" — x)/(¿c), comme dans ce cas, ou que la fonction 
f{x) prend la même valeur à égale distance des deux extrémités, il 
peut y avoir avantage à transporter l’origine au milieu de la droite 
qui joint celles-ci. Alors l’expression (21) de <ï> se réduit, par raison 
de symétrie, au terme pair en cosj3,r; et la condition <f> — o aux deux 
O 
extrémités x — ± - , devenue cos— o, donne pour racines ( 8 la 
, 3, 5, . . . . On peut donc, en attribuant 
suite des nombres impairs 1