ÉTATS PERMANENTS : PROBE. DES TEMPERAT. STATIONN. D’UN CORPS FINI. / f o3*
vera pour un prisme droit de hauteur L, reposant sur le plan des xy
par sa base inférieure, si ses faces latérales, ainsi que sa base supé
rieure z — L, sont maintenues à la température zéro, la première base
£ = 0, seule, affectant en ses divers points {x, y) des températures
arbitraires données /{oc, y). A cause du rôle spécial qu’aura z, met
tons à part, dans A 2 cp, le terme et appelons désormais A 2 cp le pa
ramètre différentiel du second ordre de cp pris seulement dans des
plans parallèles aux xy, ou réduit à la somme des deux dérivées se
condes directes de <p en x et y. Alors l’équation indéfinie, rendue
aussi analogue que possible à celles, (i5), d’états variables, s’écrira
Cherchons à y satisfaire, comme aux équations (i5), avec des solu
tions simples proportionnelles au produit d’une fonction de la variable
principale seule, c’est-à-dire ici de z, par une fonction <ï> des autres
variables qui vérifie encore l'équation (16) [p. 892*], mais où A 2 <Ij
serait, bien entendu, réduit aux deux dérivées secondes de $ en x
et r. Il viendra, en posant dans (26) cp = <l>Z, ou en appelant Z le
facteur cherché fonction de z, puis divisant par 4» et tenant compte
de (16),
æ-L
dz 2
A., <1>
Z =— B^Z,
ou
0,
équation dont l'intégrale générale, toujours composée de deux termes
respectivement proportionnels à e~$ z et à eP = , s’écrira plus utilement,
avec trois constantes arbitraires 3, 3 0 c,
(27) Z = 3 sih(c ± 3 t coh(c ± ¡3,z).
Disposons de ces constantes c, 3, Q t , de manière à faire vérifier par
la solution simple quelque condition aux limites. Comme on doit
avoir tp == o à la limite z — L, et que le facteur ( I>, indépendant de z,
ne pourra pas s’y annuler, c’est le facteur Z qui devra s’y réduire à
zéro, au moyen des hypothèses 3, =0, C — ¡3L, donnant
Z = 3sîh(PL-p*),
si l’on prend en outre ± $z avec le signe inférieur. Et pour que, à la
limite opposée z — o, ce facteur Z soit aussi simple que possible, c’est-
à-dire se réduise à 1 comme le font pour t — o, dans (11) [p. 890*], les
facteurs analogues cospi, crP 1 ', il faudra poser 3 =