,/|08* ÉTATS PERMANENTS : PROBLÈME DES TEMPÉRATURES STATIONNAIRES
infinité de rectangles curvilignes : circonstance de nature, malgré la
forme exclusivement circulaire ou droite de leurs côtés, à suggérer
cette idée, que le même problème pourrait bien encore être abor
dable dans d’autres cas de contours courbes. Et, en effet, pour nous
borner d'abord aux rectangles curvilignes, Lamé a reconnu qu’on y
composait l’expression générale de cp indépendamment de leur forme,
ou par le même procédé analytique que lorsqu’ils sont rectilignes, à
la seule condition d’avoir su d’abord obtenir la fonction cp dans le cas
simple où deux côtés opposés sont maintenus à deux températures
constantes, les deux autres côtés étant imperméables, c’est-à-dire
• , d r -D
impliquant, en tous leurs points, une dérivée --- nulle suivant leur
normale.
Pour le démontrer, appelons a, dans ce cas simple, l’expression
particulière de o, fonction connue de x et de y. Les courbes a = const.,
vérifiant ainsi l’équation
, a d '- a d~ x
(34) A,a = o ou ——- -|—-— = o,
ax- a y 1
et qu’on appelle pour cela courbes isothermes (c’est-à-dire suscepti
bles, dans certains cas, de conserver, chacune, tous leurs points à une
température uniforme a), auront évidemment, en (x, y), pour coeffi-
i • ri .i da , dot.
cient angulaire y , le rapport de — -j- a ; et seront coupees partout
a angle droit par celles dont le coefficient angulaire analogue éga-
lerait le rapport inverse changé de signe. En d’autres termes, elles
auront pour trajectoires orthogonales les courbes dont l’équation
différentielle sera —j—dv — -f- dx — o. Or le premier membre de
dx " dy 1
celle-ci est la différentielle exacte d’une certaine fonction ¡3 de x et y;
car il vérifie, en vertu de (34), la condition d’intégrabilité,
Donc de simples quadratures feront connaître l’équation ¡3 = const.
des trajectoires orthogonales aux courbes isothermes données a—const.;
et leur paramètre 3 vérifiera les deux relations
d'fi dx d r i dx
dx dy ’ dy dx
Or celles-ci, ajoutées après avoir été diflerentiées respectivement en x
et y, donnent
(36)
A 2 ¡3 — o ;