DANS DES I ECTANG. CURV. ET DANS DES ESPACES ANNULAIRES PLANS. /|()()* 
ce qui prouve que les lignes ¡3 =: const. seront, elles aussi, isother 
mes. Enfin, le troisième et le quatrième côté du rectangle curviligne 
coïncideront avec deux de ces lignes, de même que le font déjà le pre 
mier et le second avec deux lignes a — const. : car, à cause de la relation 
~=o, vérifiée par hypothèse en tous les points de ces troisième et 
an 
quatrième côtés, les courbes a = const., ou le long desquelles la dé 
rivée de a s'annule, y auront précisément les directions des éléments 
dn normaux au contour, et celui-ci y suivra bien, dès lors, une tra 
jectoire orthogonale ¡3 ~ const. 
Il est évident par raison de continuité que, du moins si 1 espace 
rectangulaire considéré n’est pas trop grand, les lignes de l’une quel 
conque des deux familles a = const., ¡3 — const. le diviseront en 
bandes infiniment étroites, sans s’y croiser, ni même s’y loucher nulle 
part. Or, dans ces conditions, chacun des deux paramètres a, ¡3 croîtra 
sans cesse ou décroîtra sans cesse le long d’un chemin normal aux 
courbes qu’il caractérise. Effectivement, multiplions l’une quelconque 
des équations (34), (36) par un élément dx dy — da de l’espace plan 
considéré ; puis intégrons le produit dans l’étendue de tout rectangle 
curviligne que limiteront quatre arcs très petits ci/ 1} dy 2 , d/ 3 , dy k 
appartenant, les deux premiers, aux courbes a — const., les deux 
derniers, aux courbes ¡3 = const. ; et transformons enfin, comme au 
n° -01* (p. 382*), chaque terme intégré une fois en une intégrale 
prise sur le contour du champ. Le résultat sera, au premier membre, 
la somme des éléments de ce contour, respectivement multipliés par 
la dérivée de a ou de {3 suivant leur normale menée au dehors. Or, 
s'il s’agit, par exemple, de f a) d<s = o, la dérivée en question de a 
s annulera évidemment en tous les points des côtés d/ 3 , c/y 4 , qui 
appartiennent aux courbes p = const.; et, si l’on convient de mener à 
chacun des deux autres côtés dy A , dy. 2 , une normale dn x , dn 2 allant 
dans le sens suivant lequel est supposé marcher l’observateur qui 
croise normalement toutes les courbes a — const., 1 une de ces nor 
males, dn x par exemple, sera intérieure au petit rectangle, ou corres 
pondra à une dérivée de a précisément égale et contraire à celle qu’il 
s’agit de multiplier par d/ { , tandis que l’autre, d/i 2 , sera extérieure. 
La relation obtenue s’écrira donc 
(3 7 ) 
c/a 
dn i 
d /j 
doc 
dn 2 
ci/2 = o ; 
ce qui, vu l'impossibilité admise où sont dy x et d/ 2 de s annuler dans