ÉTATS PERMANENTS : PROBLÈME DES TEMPÉRATURES STATIONNAIRES 
tout l’intérieur de l’espace où l’on se meut, montre que les deux dé- 
rivées et ont même signe. 
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Ainsi a croît toujours ou décroît toujours, quand on traverse le 
rectangle curviligne proposé, de grandeur finie, en allant du premier 
côté au second ; et une remarque analogue se dirait évidemment 
de p, si l’on traversait en allant du troisième côté au quatrième. Pour 
fixer les idées, nous supposerons les côtés numérotés de telle manière, 
que a et P grandissent entre des limites appelées respectivement a 0 , 
a i et p o , Pj, quand on ira soit du premier côté ans 0 au second a — a,, 
soit du troisième p = p o au quatrième p = Pu II est clair que, dans 
l’intervalle, les deux paramètres oc, p passeront une seule fois, c’est- 
à-dire en un seul point {x, y) de l’espace proposé, par chaque sys 
tème de valeurs intermédiaires : d’où il suit que, si nous introduisons 
dans cp, au lieu de xely, les variables a et p, ces deux coordonnées 
curvilignes a, p (t. I, p. 288*) pourront, sans la moindre ambiguïté 
dans l’étude de la fonction cp de point, remplacer les coordonnées 
rectilignes x, y. 
Il ne nous reste donc qu’à effectuer la substitution de a, p à x, y 
dans les équations du problème, et à reconnaître que celles-ci ac 
quièrent précisément la forme déjà affectée par elles en x et y quand 
le rectangle est rectiligne. 
Commençons par l’équation indéfinie, A 2 cp — o. La fonction cp étant 
censée exprimée au moyen de a et p, variables liées elles-mêmes à x 
et y, une première différentiation en x donne 
(38) 
On déduit de celle-ci, par une nouvelle différentiation en x, 
d- cp cl 1 o do. 2 d 2 cp do. d'i d 2 cp df> 2 do d 2 a do d' 1 3 _ 
dx 2 do 2 dx 2 do. dft dx dx + ¿/p 2 dx 2 ~ r " do. dx 2 afp dx 2 ’ 
et, en ajoutant à cette expression de l’expression analogue que 
0(1 A 2 a représente la somme des carrés des deux dérivées premières 
> égale, d'après (35), à la somme analogue A^ p pour p. Gomme