5 2 o* CARACTÈRES DES SOLUTIONS SIMPLES NATURELLES, 
trouvait nulle sauf dans une infiniment petite partie d\ dr¡ .. ou dz, 
de son champ de variation. 
Le produit F(£, . .. ) d\ dr t . .., ou F (x) dz, auquel une telle solu 
tion simple est proportionnelle, produit que nous avons appelé (sauf 
parfois un facteur constant) dm quand il était représenté par une 
masse potentiante (pp. 43o*, 433*, 435*, 436*, 44 2 *> et c.), dq dans les 
autres cas (pp. 47©*, 4?5*, 48 1 5o4*> etc.), mesure, en quelque sorte, 
l’importance des phénomènes émanés de l’élément de champ d\ dr¡ . .. 
ou dz dont il s’agit. Ce produit, que l’on pourra toujours désigner 
par dq, constitue pour ainsi dire l’élément de la quantité totale Jdq 
d’action en jeu dans l’espace et la durée où se déroule le phénomène, 
action dont les effets totaux, calculables (vu la forme linéaire des 
équations) en superposant algébriquement des solutions simples, va 
rient suivant son mode de répartition aux divers points (;, tj, ...) 
ou z de la région ou de la durée qui la manifestent. Et l’on s’explique 
d’ailleurs que ces effets soient exprimés par une même fonction de z, 
t, ou r, et de x — %, y —r¡, - . ou i — z, pour chaque action élémen 
taire dq, quels que soient l’endroit (ç, r 0 . . . ) de la région d’émana 
tion et l’instant x du temps où elle se révèle; car tous ces endroits ou 
instants se trouvent dans les mêmes conditions et jouissent des mêmes 
propriétés, tous étant pareillement, c’est-à-dire (par hypothèse) in 
finiment, éloignés des limites du corps ou du temps à considérer. 
Donc, si l’on prend pour origine des espaces ou des temps l’endroit 
ou l’instant d’une action élémentaire quelconque dq, la fonction qui 
représentera ses effets, c’est-à-dire la solution élémentaire, aura bien 
une expression indépendante de cet endroit ou de cet instant. 
On s’explique également que cette fonction soit assez simple et 
d’une interprétation abordable, même dans des cas difficiles, comme 
t > o, et sauf au point d’origine r — o, d’une exponentielle dont l’exposant né 
gatif est proportionnel à l’inverse de t, leur procure, dans leurs rapports avec la 
solution ï> = o propre aux époques antérieures, un de ces contacts d’ordre infini, 
ou de ces raccordements parfaits entre les deux parties d’un phénomène régies 
par deux lois différentes, qui s’étaient offerts à notre attention dès le n° 92 (t. I, 
P. i48). Nous les y avions, en effet, reconnus sur des exponentielles à exposant 
affecté de l’inverse d'une puissance de la variable, exponentielles que peut évidem 
ment multiplier, sans rendre fini l’ordre du contact, un facteur algébrique quel 
conque. Il est d’ailleurs aisé de voir, par la différentiation, relative à t, des for 
mules (65) [p- 4ê>9*] et (y 2 *) [p. que celles-ci jouissent, encore pour 
l’époque t = o, de la même propriété; ce qui montre que les solutions élémen 
taires (67) et (74) la communiquent à certaines, tout au moins, des intégrales 
plus ou moins complexes formées par leur superposition en nombre infini.